Re: [中學] 一題數論的題目

看板Math作者SJOKER (高斯教授)時間15年前 (2011/01/14 21:54)推噓3(3推 0噓 2→)

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※ 引述《j19951102 (j19951102)》之銘言： : 設p, q, r為質數，若滿足關係式p^3 = p^2 + q^2 + r^2，試求所有可能值p, q, r : 想了好久，想不出來，請大家幫忙筆者提供一個想法,有錯尚請不吝指正: 我們先考慮p,q,r中其它有出現2或3的情況(#部分為不失一般性的假設): (1)p = 2 時 , 原式 => 8 = 4 + q^2 + r^2 , 顯然沒有質數解 #(2)q = 2 時 , 原式 => p^3 = p^2 + 4 + r^2 , 因為 p≠2 , 故p必為奇數 , 於是左式≡1或3(mod 4) 而右式若要≡1,則q只能是2,但此時對p無法得到質數解 (右式不可能≡3) (3)p = 3 時 , 原式 => 27 = 9 + q^2 + r^2 , 得到(3,3,3)這個解 #(4)q = 3 時 , 原式 => p^3 - p^2 - 9 = r^2 此時不考慮p=r=3的情況(與上述重複),於是r^2≡1(mod 3) 而左式≡1-1-0≡0(mod 3) , 於是必無質數解 (目前此步有問題) 最後我們考慮p,q,r皆大於3的情況,此時p,q,r≡1或-1(mod 6) 因此p^3≡1或-1(mod 6),但是p^2 + q^2 + r^2≡3(mod 6),故亦無質數解綜上所述,僅有(3,3,3)這個解僅供參考 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.166.174.85 ※ 編輯: SJOKER 來自: 118.166.174.85 (01/14 21:54)

推

j19951102

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SJOKER

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