Re: [中學] 不等式一題

看板Math作者 (...)時間13年前 (2010/12/29 02:01), 編輯推噓2(2推 0噓 10→)
留言12則, 6人參與, 最新討論串2/7 (看更多)
※ 引述《freePrester (Prester)》之銘言： : 2 2 2 : 已知 x,y,z > 0 且 x + y + z = 1 : xy yz zx : 試求 ---- + ---- + ---- 的最小值 : z x y : 我知道答案是 √3 ，但我不知道要怎麼推出結論。 : 還請各位賜教。 (i) (x^2 + y^2 + z^2)/3 = 1/3 ≧ (xyz)^(2/3) => (1/3)^(1/2) ≧ (xyz)^(1/3) "="成立時 x^2 = y^2 = z^2 = 1/3 (ii) [(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)]/3 ≧ (xyz)^(1/3) "="成立時 xy/z = yz/x = zx/y => x^2 = y^2 = z^2 由(i)(ii)可知 Min[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)] = 3*(1/3)^(1/2) => Min[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)] = sqrt[3] -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.66.158
推
12/29 03:47, , 1F
第一個=成立時，應該是X^2=Y^2=Z^2,且X^2+Y^2+Z^2=1
12/29 03:47, 1F
→
12/29 03:48, , 2F
所以x^2=y^2=z^2=1/3，x=y=z=1/sqrt[3]吧?
12/29 03:48, 2F
感謝 ※ 編輯: sulanpa 來自: 140.113.66.158 (12/29 08:53)
推
12/29 09:58, , 3F
感謝你
12/29 09:58, 3F
→
12/29 10:59, , 4F
錯啦 最好隨便用個科西算幾就算得證
12/29 10:59, 4F
→
12/29 11:02, , 5F
A=(x^2+y^2+z^2)/3,B=(xyz)^(1/3),C=xy/z+yz/x+zx/y
12/29 11:02, 5F
→
12/29 11:04, , 6F
(1)知A>=B,(2)知C>=B,所以C>=A???
12/29 11:04, 6F
"="成立時 (i) (ii) 條件相同 (xy/z)+(yz/x)+(zx/y)/3 = (1/3)^(1/2) = (xyz)^(1/3) ※ 編輯: sulanpa 來自: 140.113.66.158 (12/29 12:19)
→
12/29 19:40, , 7F
之前有想過這樣,但是怪怪的...
12/29 19:40, 7F
→
12/29 20:55, , 8F
條件相同不代表(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)的最小值就是√3
12/29 20:55, 8F
→
12/29 21:09, , 9F
(i)"="成立時,(xyz)^(1/3)的最"大"值=(1/3)^(1/2)
12/29 21:09, 9F
→
12/29 21:10, , 10F
(ii)"="成立時,[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)]/3的最小值=
12/29 21:10, 10F
→
12/29 21:10, , 11F
(xyz)^(1/3),但此時的(xyz)^(1/3)不能確保是最小值
12/29 21:10, 11F
→
12/30 13:23, , 12F
推樓上~~~ 覺得怪怪 但是不知道怎麼解釋~XD
12/30 13:23, 12F
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