Re: [中學] 一題題目求解
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之銘言：
: 設p與q為質數，且滿足p^3 + q^3 +1= p^2*q^2，請問p + q的最大值為多少?
顯然,p和q皆為偶數的解即為p=q=2不合.
且不失一般性,我們假設p<=q.
考慮p=2且q=3,這是一個合的解.
若p=2 , 顯然 q>3是無解的 (原因是q^3的成長比q^2大)
所以一奇一偶僅有一解,即為(p,q) = (2,3)
現在考慮兩者皆為奇數.
如果p=q,那麼方程式會有p=1和一個非整數的有理根(或三個),
簡而言之,就是沒有符合的質數.
所以p<q.
若p = 3 , q = 5 ,那麼 27 +125 +1 < 15^2 = 225 不合
若p = 3 , q = 7 ,那麼 27 +343 +1 < 21^2 = 441 不合
若p = 3 , q = 11 ,那麼 27 +1331 +1 > 33^2 = 1089 不合,而且之後也不可能合.
(因為三次的速度大於二次,所以不會再相交了)
所以我們發現應該要證明:
若p為質數且為奇數,則該方程沒有質數的解即可.
那我們就把q=2n+1代回去,用牛頓定理就發現n不可能有整數解.(因為p為質數.)
如此得證
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◆ From: 140.112.251.220
推
12/27 22:06, , 1F
12/27 22:06, 1F
→
12/27 22:06, , 2F
12/27 22:06, 2F
代回後可得
(2n+1)^3 + q^3 = (2n+1)^2 * q^2
8n^3 + 12n^2 + 6n +1 +q^3 = 4(nq)^2 + 4nq^2 + q^2.
8n^3 + (12-4q^2)n^2 + (6-4q^2)n + [q^2 * (q-1)] =0
但n不等於1 , q ,q^2 ,q-1. 也不可能等於(q-1)/2.
(若再考慮(q-1)除以其他整數則代回不合,故不可能有其他整數解)
※ 編輯: t0444564 來自: 140.112.251.220 (12/28 00:57)
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