Re: [問題] 某個考古題
※ 引述《LPH66 (p2/LPH66歡迎光臨)》之銘言：
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: V 6 + 2 V 7 + 3 V 8 + 4 V 9 + 5 √... = ?
: 忘了是市賽還是全國賽的考古題
88年台南區的考題，當時就這一題弄不出來，之後回家弄了好久依然不行。
直到某一天，我在數學奧林匹克大集裡面看到一題函方之後，才發現解法。
: 令f(k)=√k + (k-4) * √...
: 2
: 即有f (k) = k+ (k-4) * f(k+1)
: 不過接下來是解函方
: 做不下去了Orz
: 想問說是不是從這裡可以做 還是有別的更妙的做法呢?
: (上面那個答案不算 那根本是湊出來的)
請恕我將函方改為 : f(k)=√k+4 + k * √...
f (k)^2 = k+4 + k * f(k+1)....(★)
1.證明 f(k) <= k+2 ， 特別的， f(2) <= 4
k+2 2^(n-1)
2.證明 f(k) >= (-----)^(---------), n=1,2,3,4,....
2 2^n
Let n->∞，f(k) >= (k+2)/2 ....(2)
k+2
3. Use 2. to show f(k) >= ------------ , n=0,1,2,3,....
2^(1/2^n)
Let n->∞, f(k) >= k+2
證明的方法是將(2)代入★中，得 f(k) >= (k+2)/√2,
再將所得的這個式子代入★，一直下去....
證明2.的方法也是一樣的
4. by 1.和 3. ，得 f(k)=k+2 ，特別的，f(2)=4
Remark: 看了你的解答，讓我覺得我的創造力真的是.....@#$%
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