Re: [理工] Riccati's Equation 求解問題
※ 引述《k32318 (......)》之銘言：
: Riccati's Equation之標準式為
: y'=P(x)y^2 + Q(x)y + R(x)
: 書上的解題方法是先求出特解 S(x)
: 1
: 令 y = S(x) + ------- 代入標準式中 則可簡化為一階線性ode
: Z(x)
: 我的問題是特解與奇異解，代進去都都成立，那如何確定S(x)為特解
: 抱歉我可能哪裡觀念不通，希望大家為我解答。
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其實不論 S(x) 是否為奇解
只要確認 S(x) 是 ode 的一解
那令 y = S(x) + u(x) 得到的 f(u',u,x) = 0 一定是 Bernoulli's ode
問題癥結點在於
很多人 認為 通解不能表示的解稱為奇解
(我以前也是其中一名XD)
這句話是有問題的
因為奇解的定義並非如此
我舉一個簡單的例子:
y' = -y^2
用一般常見的解法，可以解得 y = 1/(x+C)
但該 ode 有一個 trivial solution, 就是 y = 0
可是不論通解的 C 選取為何，你皆無法得到 y = 0
所以工數上會跟我們說， y = 0 為奇解
但若考慮以下的解集:
y = C/(Cx + 1)
我們會發現，該解集不僅滿足原 ode
且該解集也包含 y = 0 這一支解 if C=0
反而是你找不到任何一個 C, 使得 y = 1/x
但 y = 1/x 是奇解嗎 ?
答案是 nope， y = 0 才是奇解 (理由這邊不詳述)
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回到原問題
原po會有這疑惑，應該也是因為對奇解有先入為主的想法
我上面所舉的例子，也可以視為 Riccati' ode
你應該可以自行歸納出一個小結論
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推
05/29 20:53, , 1F
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