Re: [理工] 97台大電機C 工程數學第五題

看板Grad-ProbAsk作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間10年前 (2013/10/20 12:39)推噓3(3推 0噓 1→)

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※ 引述《superdevil (綠惡魔)》之銘言： : http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/97/97410.pdf : 沒答案阿!!! : 1 : 積分因子不是應該是------(B的答案) 才對?????? : a(x) : 還是我觀念錯了??????? --- 其實不能怪原po, 是很多書上自己也交代不清楚 <1> 通常書上一開始會介紹何謂一階 ode: y' = H(x,y) 再來介紹何謂 separable: y' = H(x,y) = f(x)/g(y) ____(1) 一階 ode 若具有 separable 的好處在於它能利用簡單的代數變換法求解: g(y)*y' = f(x) => dG(y)/dx = f(x) 只要左右兩邊取積分，並且在一個 2D region R 下是 integrable 那就能找出它的通解這時我們會把 g(y) 稱作是 integrating factor 因為 (1) 式左右同乘 g(y), 使得 LHS 跟 RHS 都取積分運算符即可求解 <2> 接著引進一階線性 ode: y' + P(x)*y = Q(x) 我們也希望能透過找出積分因子 I ，來達到相同的目的: Iy' + IPy = IQ => (Iy)' = IQ ----- 到這裡就會很自然的引進全微分的概念亦即假設通解為 F(x,y(x)) = C => F_x + (F_y)*y' = 0 寫成 differential form 就是 (F_x) dx + (F_y) dy = 0 所以我們將使 ode 稱作 exact exact 這一詞本身具有全微分的概念 ( differental of F is exactly (F_x) dx + (F_y) dy ) 至此，就是工數/微方崩壞的開始因為大家只會記得 Mdx + Ndy = 0 是 exact 的必要條件為何而 integrating factor I 則是一種會讓 IM dx + IN dy = 0 是 exact 的存在但 exact 的原意是要讓 ode 具備全微分性質讓 ode 可以很輕易的求解我舉一個補習班或一些工數書上最喜歡提到的一個東西就是二階線性 ode 是 exact 的判別式: Py'' + Qy' + Ry = T is exact only if P'' - Q' + R = 0 因為這個性質可以將二階線性 ode 改寫成: [Py' + (Q - P')y]' = T 但補習班/書上從來不會跟大家提這個: 『若存在 I(x), 使得 IPy'' + IQy' + IRy = IT 為 exact 則稱 I 為 integrating factor 』可能也不會提這個: 『 <a> Py' + Qy = R is exact only if P' - Q = 0 this produces: (Py)' = R <b> I is called integrating factor causing IPy' + IQy = IR is exact 』可能原因是: <i> 二階線性 ode 的積分因子太難找 <ii> 一階線性 ode 已經有公式解可以算，沒必要定義何為 exact <iii> 大家書上都是互相抄來抄去。越少人提，就越少人抄 ==================================================================== 追根究底，工程數學寫得太隨便了所以定義了很多東西，但到最後串聯起來常常出問題不然就是知識的教導/使用上, informal 到令人髮指的地步最後我都說服我自己這是工具，用來解決其它問題工具如何形成是他人的事情 XD -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.33.166.150

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gnsh

10/20 13:04, , 1^F

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ziizi

10/20 16:10, , 3^F

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