[理工] [工數]一階ODE

看板Grad-ProbAsk作者 (小花)時間11年前 (2012/11/10 02:11), 編輯推噓2(2推 0噓 43→)
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大家晚安，今天在幫同學算工數時卡到這題，請大家給點提示 題目: y'+2y=f(x),y(0)=0,where f(x)=1 ,x在0~3(含0、3) 0 ,x大於3(不含3) 解答1: 我算出積分因子I(x)=e^(2x)後乘回去並作分部積分 ye^(2x)=(1/2)e^(2x)+C1 ,x在0~3(含0、3) C2 ,x大於3(不含3) 接著帶入條件y(0)=0 y=(1/2)(1-e^-2x) ,x在0~3(含0、3) 困惑:C2不知道怎麼求，C2是在x大於3求出來的，現在卻要把x=0帶入，我困惑了... 且強制帶入後C2=0，跟解答的1/2[(e^6)-1]e^(-2x)不同... 先在這裡謝謝各位了= = -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.170.191.68
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11/10 02:17, , 1F
這題直接用拉氏比較快哦!!用階梯函數把f(x)描述出來
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11/10 02:17, , 2F
f(x)=u(t)-u(t-3)
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11/10 02:18, , 3F
另y(0)=C 兩邊取拉氏
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11/10 02:20, , 4F
(S+2)Y={(e^-0s - e^-3s) / S} + C
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11/10 02:21, , 5F
謝謝，但我還在學一階ODE，有一階的解法嗎= =
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11/10 02:21, , 6F
Y=(1/3){(1/S-1)-(S+2)}(e^-0s-e^-3s)-C/S+2
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11/10 02:23, , 7F
而且我很好奇題目問的背後意義=A=
11/10 02:23, 7F
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11/10 02:26, , 8F
你在積分的時候不用再分x在哪個範圍
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11/10 02:27, , 9F
把不定積分改成積分x-0
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11/10 02:31, , 10F
麻煩能在詳細敘述一下嗎...
11/10 02:31, 10F
推
11/10 02:34, , 11F
dye^2x=/e^(2x)[u(t)-u(t-3)]dx 本來是不定積分
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11/10 02:34, , 12F
改成定積分 積分範圍0-x
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11/10 02:36, , 13F
然後你再把他兩個拆開個別積分個別的就好了
11/10 02:36, 13F
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11/10 02:41, , 14F
(e^2x)y'+2y(e^2x)=這邊後面怎麼寫，是1X(e^2x)嗎?
11/10 02:41, 14F
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11/10 02:43, , 15F
同乘dx-->e^(2x)dy+2ye^(2x)dx-->[e^(2x)]dy+yd[e^(2x)]
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11/10 02:43, , 16F
在合併成-->d[ye^(2x)]
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11/10 02:43, , 17F
然後分dy、dx兩部分作0~x的積分，對嗎?
11/10 02:43, 17F
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11/10 02:44, , 18F
後面就是我剛剛上面寫的/e^(2x)[u(t)-u(t-3)]dx
11/10 02:44, 18F
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11/10 02:44, , 19F
嗯嗯嗯
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11/10 02:44, , 20F
dy那邊不用定積分範圍
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11/10 02:55, , 21F
抱歉，我現在寫到d[ye^(2x)]=(e^2x)dx
11/10 02:55, 21F
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11/10 02:56, , 22F
兩邊做積分，等號右邊積分範圍是0~x
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11/10 02:57, , 23F
變成y(e^2x)=(1/2)(e^2x)-(1/2)+C
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11/10 02:58, , 24F
d(ye^2x)=/e^(2x)u(t)dx-/e^(2x)u(t-3)dx(範圍都0~x)
11/10 02:58, 24F
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11/10 02:59, , 25F
左右同除e^2x，變成y=(1/2)-(1/2)(e^-2x)+c(e^-2x)
11/10 02:59, 25F
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11/10 03:01, , 26F
你積分/e^(2x)u(t-3)dx應該等於[e^(2x)-e^6]/2
11/10 03:01, 26F
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11/10 03:03, , 27F
對不起.../e^(2x)u(t)dx怎麼做定積分...
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11/10 03:04, , 28F
這是在x>3的情況下 所以->(1/2)u(x-3)(e^2x-e^6)
11/10 03:04, 28F
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11/10 03:05, , 29F
因為u(x)的定義是1,x>0 0,x<0 /e^(2x)u(x)dx=/e^(2x)dx
11/10 03:05, 29F
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11/10 03:05, , 30F
範圍是0~x 設x>0
11/10 03:05, 30F
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11/10 03:07, , 31F
-->(1/2)u(t)e^2x
11/10 03:07, 31F
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11/10 03:08, , 32F
打錯(1/2)u(t)(e^2x-1)
11/10 03:08, 32F
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11/10 03:14, , 33F
你去問老師好了= =我也混亂了...對不起
11/10 03:14, 33F
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11/10 03:19, , 34F
/(e^2x)u(t)dx從0~x積分=(-1/2)+(1/2)e^(2x)
11/10 03:19, 34F
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11/10 03:21, , 35F
/e^(2x)u(t-3)dx=(-1/2)u(t-3)+(1/2)u(t-3)e^2(x-3)
11/10 03:21, 35F
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11/10 03:22, , 36F
帶入0~x變成[e^(2x-6)-e^(-6)]/2....
11/10 03:22, 36F
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11/10 03:23, , 37F
恩，還是謝謝你，是我自己基礎沒學好...
11/10 03:23, 37F
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11/10 03:30, , 38F
我自己是覺得答案有錯 因為應該要有階梯函數才對
11/10 03:30, 38F
推
11/10 10:00, , 39F
我是劉明昌的這個應該是所謂的速度要連續和位移要連續
11/10 10:00, 39F
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11/10 10:03, , 40F
y(C1)=y(C2)和y'(C1)=y'(C2)兩式解聯立 不過此法真的
11/10 10:03, 40F
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11/10 10:04, , 41F
不推 因為他給的是IC 所以自然就會想到拉氏 有疑問可以
11/10 10:04, 41F
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11/10 10:05, , 42F
在寄站內信給我...^^
11/10 10:05, 42F
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11/11 02:04, , 43F
謝謝兩位，今早去圖書館借Zill的書來翻
11/11 02:04, 43F
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11/11 02:05, , 44F
立題的觀念是把不連續點的x值帶入，然後兩式比較求C2
11/11 02:05, 44F
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11/11 02:06, , 45F
再次謝謝兩位的解答，題目解完我很開心
11/11 02:06, 45F
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