Re: [理工] [工數] 留數定理

看板Grad-ProbAsk作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間15年前 (2010/11/25 13:30)推噓8(8推 0噓 27→)

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※ 引述《endlesschaos (Knight of Owner)》之銘言： : 在解周易的其中一題 : π cosθ : 題目：Evaluate ∫ ----------- dθ, -1 < a < 1 : 0 cosθ - a : 想請問的有以下幾點： : 1. 此題正確答案為π : 所以想知道 method 2 當中步驟哪裡有錯 : 又對積分取實部或虛部這個方法是否有所限制？限制條件為何？ : (不弄清楚這點我以後都不敢亂取實部......雖然相較之下超方便) : ˍˍˍ ˍˍˍ : 2. 此題的兩個奇點： z = a + √1 - a^2 i 、 z = a - √1 - a^2 i 都在單位圓上 : 之前複習書上發現留數定理都是在討論C「內」的奇點 : 那麼在C上的奇點也可以同樣使用嗎？是否有需要注意的地方？ : 3. 想請問留數定理是否有以下的性質： : ˍ ˍˍˍ : Res(z1) = Res(z1) : ˍ ˍˍˍ : 其中 z1 為 z1 之共軛複數、Res(z1) 為 z1 的留數之共軛複數 : 發現周易書上很多題都用了這個手法 : 可是像這題 method 1 將兩個複數的留數整理後發現因為沒有虛部所以看不出來 : method 2 則是不符合這個性質 : 反而是實部的地方差了個負號 : 所以想問一下究竟這個等式是否成立？又是否有成立條件？ : 感謝各位大大耐心的閱讀與回答～～ 1. 有發現積分區間一定會存在某一個角度 θ=m 使得 cos(m) = a 嗎 ? 也就是 f(θ) = cosθ/(cosθ - a) 在 θ=m 沒定義換句話說原積分值不存在... 這題的答案寫 π 是錯的 2. 用複變的角度上看 contour 穿過 pole 那該 contour 積分一定發散或不存在這代表著　　您所選取的 closed contour 是不恰當的　　抑或是不足以計算(推論)出原始定(瑕)積分的值 3. ˍ ˍˍˍ " Res(z1) = Res(z1) " 這條式子會成立應該還要滿足某些條件吧 ? 由 residue 的算法可知 ˍ -1 一個是看 laurent series 中 ( z - z1 ) 的 coefficient -1 一個是看 ( z - z1) 的 coefficient 再取 complex conjugate 我覺得這兩件事情是八竿子打不著＝＝　　因為這兩件事情有可能 z 所屬的收斂區間 depending on diff. type's expansion 是互斥的 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.211.136 ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.136 (11/25 15:31)

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endlesschaos

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可以看一下 Cauchy Integral Formula 使用的先決條件您所使用的前置條件一定有違背或是某些積分路徑的 term 原本要是發散或不存在但是卻過於依賴 residue thm. 而不去考慮那些路徑的積分值造成把錯誤的結論視為是對的我可以舉 a = 0.5 的例子: π cosθ ∫ f(θ) dθ for f(θ) = ────── 0 cosθ - 0.5 f(θ) 在 cosθ=0.5 , 也就是 θ=π/3 是 undefined 所以根據瑕積分定義: π π/3 π ∫ f(θ) dθ = ∫ f(θ) dθ + ∫ f(θ) dθ 0 0 π/3 ^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^ (1) (2) (1) 和 (2) 的積分可以自己動手算看看 (初微的變數變換可以算出來) 或是用 Matlab 等數值軟體分別跑一下這兩個積分 (1)式會發散至無窮大 (2)式會發散至負無窮大所以原始的積分值不存在 (用軟體跑會出現 NaN 的結果) 這題頂多在 a=0 時可以對 θ=π/2 做瑕積分定義的拆解然後算出積分值 = π 其它 -1<a<1 的 case , 該積分值一定不存在 ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.47.130 (11/25 23:59)

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abcxyz123

11/26 00:29, , 4^F

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abcxyz123

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endlesschaos

11/26 02:08, , 6^F

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就是因為正無窮大的數字加上負無窮大不知道是何數字才會視為它是一個 "不定數" 或是嚴格說就是極限不唯一，也就是極限不存在這不正是初微瑕積分的定義嗎? 2 1 一個經典的例子是 ∫ ── dx = ? -3 x 若把這題的極限值當成是 ln(2/3) 那瑕積分那部分就真的要再重看一遍了＝＝另外處理非定義點的問題　　軟體一定會先處理把積分拆開來　　不同的軟體可能會有不同的 algorithm　或 data structure 所以跑出複數答案就代表該演算法對求此積分並不適用要您跑軟體只是想驗證或節省時間　　若您還是相信答案是 π 那我把不定積分的 closed form 打出來: cosθ 1 tan(θ/2) +│tan(φ/2)│ ∫ ────── dθ = θ + ────*ln│────────────│ + C cosθ - cosφ │sinφ│ tan(θ/2) -│tan(φ/2)│ 2 -1 or = θ + ────*tanh [│cot(φ/2)│*tan(θ/2) ] + C │sinφ│ 若 cosφ≠0 , θ　從 0 積到 π 很明顯極限不存在您也可以把複變的計算過程 po 上來　　看看哪邊有問題 ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.136 (11/26 13:30)

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dapouchi

11/26 18:45, , 12^F

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dapouchi

11/26 18:46, , 13^F

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dapouchi

11/26 18:49, , 14^F

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