Re: [理工] [工數]-複變分析
※ 引述《DANNY751130 (大頭)》之銘言：
: 喻老講義812頁 第4題
: 2拍 dx
: 題目 S --------------
: 0 cosx+2sinx+3
: 化簡到一半會卡住(卡在喻老解答第2行到第3行)
: 請大家幫幫忙讓我知道問題出在哪
: 謝謝
2π dx
∫ ─────────
0 cosx + 2sinx + 3
ix ix
Let z = e , dz = ie dx , dx=dz/iz
積分範圍 c 為在複數平面上以原點為圓心 , 半徑1之圓
ix -ix ix -ix
cosx = (e + e )/2 = (z+1/z)/2 , sinx = (e - e )/2i = (z-1/z)/2i
代回得
dz/iz
∮ ───────────────
c (z+1/z)/2 + 2(z-1/z)/2i + 3
2dz
=∮ ────────────── (分子分母同乘 2iz)
c iz(z+1/z) + 2z(z-1/z) + 6iz
2dz
=∮ ─────────────
c (2+i)z^2 + 6iz + (-2+i)
代1元2次方程式公式解求 分母=0 :
-6i ±√[(6i)^2-4(2+i)(-2+i)]
z = ────────────────
2(2+i)
(-6i ±4i)(2-i)
= ──────── (分子分母同乘 2-i , 先算根號項)
2(2+i)(2-i)
-10i(2-i)
z1 = ────── = -2i-1
10
-2i(2-i)
z2 = ───── = (-2i-1)/5
10
分母可改為 (2+i)(z-z1)(z-z2) :
2dz
∮ ──────────—─── = ∮ f(z)dz
c (2+i)(z+2i+1)[z+(2i+1)/5] c
因 |z1| = √5 , |z2| = 1/√5 , 只有 z2 在閉積分範圍內:
2 2
Res f(z2) = lim ─────── = ─────────
z→z2 (2+i)(z+2i+1) (2+i)(4/5)(2i+1)
2 1
= ───── = ──
(4/5)(5i) 2i
∮ f(z)dz = 2πi Res f(z2) = π
c
--
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◆ From: 218.173.129.32
推
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