Re: [理工] [工數]-請問一題逆運算子
※ 引述《msu (do my best)》之銘言：
: 喻超凡 工程數學上 p707 ex38
: Find the general solution of the differential solution of the differential
: equation
: y'' + (w^2)y'=r(t) = { t+pi if -pi<t<0
: { -t+pi if 0<t<pi
: and r(t+2pi)=r(t), w不為0,1,3...
: 請問這一題的特解如何利用逆運算子法求呢?
呵呵~剛剛在看電視0,0
r(t)為週期函數,故用傅立葉級數展開
可化成n次弦波組合,則可用逆運算子求解.
y''+w^2y'=r(t)
∞
r(t)=a+sum{Acos(nt)}
n=1
1 π π
a= ---∫(-t+π)dt=----
π 0 2
2 π 2 4
A= ---∫(-t+π)cosntdt=-----{1-(-1)^n } =----- (n=1,3,5,...)
π 0 n^2π n^2π
π ∞ 4
(D^2+w^2D)y=r(t)=----+sum { -----cos(nt)}
2 n=1,3,5... n^2π
1 π πt
yp1=---------- --- = ---- ( w≠0 )
(D+w^2)D 2 2w^2
∞ 4 1
yp2=sum { ----- -------- cos(nt)}
n=odd n^2π (D+w^2)D
∞ 4 1
=sum { ----- -------- sin(nt)}
n=odd n^3π (D+w^2)
∞ 4 2 2
=sum { ----- e^(-w t)∫e^(w t)sin(nt)}
n=odd n^3π
∞ 4 1 2
=sum { ----- --------{w sin(nt)-ncos(nt)} }
n=odd n^3π w^4+n^2
以上,應該是這樣算吧~
至於這邊我覺得怪的地方是w看似沒有不行等於1,3,5....
如果題目改成y'''+w^2y'=r(t)的話
yp2就會變
∞ 4 1
=sum { ----- -------- sin(nt)} (w≠n ,也就是w≠1,3,5,...
n=odd n^3π (w^2-n^2)
這樣才會符合w≠0,1,3,5,... 以上,也可能是我算錯啦XDD
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推
09/02 03:05, , 1F
09/02 03:05, 1F
我覺的是可能出題時原本要出y'''吧XD
※ 編輯: iyenn 來自: 123.193.214.165 (09/02 12:21)
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