Fw: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識已回收

看板Gossiping作者 (做一個有質感的好人)時間5年前 (2018/12/13 23:41), 5年前編輯推噓0(11推 11噓 19→)
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※ [本文轉錄自 Math 看板 #1S4d8Ujg ] 作者: Lindemann (做一個有質感的好人) 看板: Math 標題: Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識 時間: Thu Dec 13 22:52:10 2018 所有黃士修解錯的習題和辯論都已經放在我個人的FB,歡迎查看 https://www.facebook.com/hilbert214 ※ 引述《Hyuui (修)》之銘言： : 我在之前的文章中，證明了Zeta函數的解析延拓。 : http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html : 如果只要求證明解析延拓的話，不需要算出過程中一些係數的確切值。 : 也不需要動什麼奇怪手術，所以我那篇文章非常簡短。 : 而這篇文章要證明以下式子： : Zeta{-n} = (-1)^n * B_(n+1) / (n+1) : 其中B_n為Bernoulli number。 : 這會稍微複雜一點，但也不是很困難的事。 : 而且有了該式，我們顯然可得： : Zeta{0} = B_1 = -1/2 : = 1 + 1 + 1 + ... : Zeta{-1} = (-1/2) * B_2 = -1/12 : = 1 + 2 + 3 + ... : 注意： : 嚴格來說，解析延拓的Zeta函數在拓展後的定義域中， : 其實已經不是 Sum{1/n^z} 的形式了。 : 所以上述兩式等於後半的發散級數，其實並不嚴謹。 : ── : 1. : 我在之前的文章提到： : 把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。 和平 理性 勿戰 題目是Stein第16題 https://imgur.com/ZlCZCTJ
昨天第16題我已經特地把這問題真正寫清楚,有興趣的鄉民可以跟我要(等我打成LaTeX) https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1544643387.A.975.html 為了讓PTT的八卦版和數學版鄉民知道錯誤,我還是特地糾正這些嚴重的誤導 題目是 積分從0積分到1的被積分函數 1 / (e^t -1) => t=0 就不可解析了,所以不 可能有Cauchy積分公式,那更無法做Laurent展開,大三的工學院學生修復變應該也都學過 所以在0點就爆掉不可解析了,請問怎麼能做Taylor展開? 而且這不是Laurent展開只是Taylor 展開,以下算式都是毫無任何意義和誤導 : 1 / (e^t -1) : = 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ... : 如果真的去計算那些係數(依照Laurent展開的定義即可)，會得到以下結果： 請問怎麼能做Taylor展開? 以下這些完全是非常誤導人的做法 : a_0 = -1/2 : a_(2k) = 0 : a_(2k-1) = B_2k / (2k)! : 這裡的B_n稱為Bernoulli number，其中一種定義方式即為： : t / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^n / n! } : 且從上述的計算可知，B_n在 n>1 時的奇數項皆為0 : 所以 : t^(z-1) / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } : 做個簡單的多項式積分： : Int_0~1 { t^(z-1) / (e^t -1) } dt : = Int_0~1 { Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } } dt : = Sum_n=0~∞ { B_n / n!(n+z-1) } : 它的前幾項是： : k=0, B_0 / (t-1) = 1 / (t-1) : k=1, B_1 / t = -1 / (2t) : k=2, B_2 / 2(t+1) = 1 / 12(t+1) : k=3或更大的奇數, 0 : k=4, B_4 / 4!(t+3) = -1 / 720(t+3) : k=6, ... (省略) : 注意到前三項就是Chatterly的「手術」亂湊出的項，但這是錯的。 所以你完全沒有抓到解析延拓的精華,只是抄Frank的數學世界,所以兜不攏 : 因為這三項根本就是第一個積分的一部分，要寫也沒寫完。 : 鄉民只要記得,這裡最大的關鍵的數學家機密就是我6月15號要公布我的計算過程 : 重點是做手術 重點是做手術 : -> 手術結果就是在下面上色的 : 重點是做手術 重點是做手術 s-1 1 s-1 ∞ z 1 z 1 1 1 Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dz = ∫ dz (---------)+ ---- - ---- + ------ 0 z 0 z e -1 e -1 s-1 2s 12(s+1) s-1 ∞ z +∫ ------- dz + z 1 e -1 : (他PO在八卦板補上鐵牛運功散的上色版本比較好笑。XD) : 所以手術失敗，患者宣告不治。 這就是傳說中的正規化(regularization) : 別說鐵牛運功散了，連生生造化丹都救不了你。 : 而且你知道嗎？ : ξ叫作"xi"，ζ才叫作"zeta"，又是一個BUG。 : 為了避免讀者混淆，我將正確的式子再寫一次： : s-1 s-1 s-1 : ∞ z 1 z ∞ z : Γ(s)ζ(s)= ∫ ------ dz = ∫ ------ dz + ∫ ------ dz : 0 z 0 z 1 z : e -1 e -1 e -1 : 即是我之前文章中寫的： : Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt : Zeta {z} : = 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt : = 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt : 請注意，z=1是極點，但該點並不影響積分，不需要做什麼手術避開。 不是的,是因為Gamma函數在 [0,1] 那區間會有問題跑出一堆pole,所以必須 做解析延拓,這個Elias Stein的書也有寫,我只是用比較簡單的方式說明Gamma解析延拓 和Gamma和Zeta一起乘積的解析延拓,還有問題的鄉民可以私信 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.25.220 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1544712734.A.B6A.html ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 22:54:18 ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:03:15 ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:04:48 ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:26:10 ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:41:09 ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ※ 轉錄者: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:41:30
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12/13 23:42, 5年前 , 1F
還沒結束啊？
12/13 23:42, 1F
只是想把辯論會沒有說清楚的跟鄉民解釋,希望這篇是最後一篇了,版主可以水桶了,謝謝 ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:43:10
噓
12/13 23:42, 5年前 , 2F
幹 我真的很討厭數學
12/13 23:42, 2F
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12/13 23:42, 5年前 , 3F
聖誕節再約一次啦
12/13 23:42, 3F
推
12/13 23:42, 5年前 , 4F
該睡囉
12/13 23:42, 4F
噓
12/13 23:42, 5年前 , 5F
過氣了
12/13 23:42, 5F
推
12/13 23:43, 5年前 , 6F
我真的覺得能在PTT上打上數學算法的都非等閒之輩
12/13 23:43, 6F
噓
12/13 23:43, 5年前 , 7F
大家都不知道物理哥的個性嗎？
12/13 23:43, 7F
噓
12/13 23:43, 5年前 , 8F
煩不煩。。。
12/13 23:43, 8F
噓
12/13 23:43, 5年前 , 9F
炒爽沒
12/13 23:43, 9F
已經和解,但是希望真理越辯越明,希望鄉民不要被誤導,只是希望追求真理 ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:44:53
噓
12/13 23:44, 5年前 , 10F
過氣了
12/13 23:44, 10F
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12/13 23:44, 5年前 , 11F
我如果40歲還在糾結大學習題 我媽一定會哭
12/13 23:44, 11F
這只是腦筋急轉彎,就像你看A片動漫,我看複變當樂趣啊
推
12/13 23:44, 5年前 , 12F
不會耶,我最喜歡看人筆戰了
12/13 23:44, 12F
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12/13 23:44, 5年前 , 13F
每次都說是最後一篇...
12/13 23:44, 13F
噓
12/13 23:46, 5年前 , 14F
三小辣，林北文組辣，欺負文組逆？
12/13 23:46, 14F
噓
12/13 23:46, 5年前 , 15F
直接劣退 退註
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噓
12/13 23:46, 5年前 , 16F
你們爭的東西一堆人早就玩爛了 會到Textbook裡面的早就玩爛
12/13 23:46, 16F
但是還是算困難的,如果是大三第一次念Elias Stein的書,應該是生不如死吧 有沒有鄉民分享心得? 聽說普林斯頓數學系4個學期把4本分析的書上完,但是真的能學懂的學生有幾人, 我不是懷疑普林斯頓學生程度,我只是覺得現在全世界好像大學都把學生當天才
推
12/13 23:47, 5年前 , 17F
好吧 看不懂給推
12/13 23:47, 17F
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12/13 23:47, 5年前 , 18F
說真的，大學的電子學通訊系統工數，我全忘光了
12/13 23:47, 18F
※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:51:27
推
12/13 23:48, 5年前 , 19F
物理哥去看我文章消消氣~
12/13 23:48, 19F
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12/13 23:48, 5年前 , 20F
不要以為自己發現什麼定理 你們能想到 別人已經想到證完了
12/13 23:48, 20F
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12/13 23:48, 5年前 , 21F
林北忘光了，還是活的好好的，不要把時間停在20歲，很可悲
12/13 23:48, 21F
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12/13 23:49, 5年前 , 22F
意思是別糾結了
12/13 23:49, 22F
推
12/13 23:50, 5年前 , 23F
20歲我抓a片打手槍，現在我一個禮拜可以幹超過10個妹
12/13 23:50, 23F
推
12/13 23:50, 5年前 , 24F
有人興趣就是算數學阿 有什麼好可悲的
12/13 23:50, 24F
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12/13 23:51, 5年前 , 25F
不要糾結了，唉，人要往前走
12/13 23:51, 25F
只是想把辯論會沒有說清楚的跟鄉民解釋,希望這篇是最後一篇了,版主可以水桶了,謝謝 可以把這系列相關文章都砍掉嗎? 我寫信給版主都沒回應,我不想出名>< ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/13/2018 23:53:04
噓
12/13 23:54, 5年前 , 26F
真的沒人關心ok?
12/13 23:54, 26F
推
12/13 23:55, 5年前 , 27F
我以前也對代數很有興趣 群論環論體 Galois Theory
12/13 23:55, 27F
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12/13 23:57, 5年前 , 28F
因為我對數論有興趣 想證明幾個質數的猜想
12/13 23:57, 28F
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12/13 23:57, 5年前 , 29F
後來幾個以為自己的突破 都早就有人玩過了
12/13 23:57, 29F
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12/13 23:59, 5年前 , 30F
就不玩純數了 後來都玩應用的 密碼學橢圓曲線
12/13 23:59, 30F
推
12/14 00:34, 5年前 , 31F
不知道有沒有記錯，我的印象Laurent expansion 只要求在一個
12/14 00:34, 31F
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12/14 00:37, 5年前 , 32F
環狀區域解析。中心點本身可以是奇點
12/14 00:37, 32F
推
12/14 00:43, 5年前 , 33F
從你提到Cauchy integral formula 來看，我猜你想說的是
12/14 00:43, 33F
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12/14 00:44, 5年前 , 34F
power series expansion?
12/14 00:44, 34F
謝謝指正喔
推
12/14 00:49, 5年前 , 35F
路人甲經過 雖然沒興趣 但 ....
12/14 00:49, 35F
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12/14 00:50, 5年前 , 36F
你看看BREEDY要不要挺你 他可是....他也是物理的Y
12/14 00:50, 36F
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12/14 00:51, 5年前 , 37F
兩個大名校外加 一堆蠻不錯的經歷的 （呵呵）
12/14 00:51, 37F
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12/14 00:52, 5年前 , 38F
雖然我路人看不懂 我覺得學術上土條還可以啊
12/14 00:52, 38F
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12/14 00:52, 5年前 , 39F
我只是想看戲而已
12/14 00:52, 39F
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12/14 00:53, 5年前 , 40F
像我這種學店生都不好意思跟你們說上兩句 各位太強
12/14 00:53, 40F
噓
12/14 09:41, 5年前 , 41F
還活在自己的幻想世界裡，不鳥你叫做已經和解...
12/14 09:41, 41F
※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/14/2018 17:24:39 ※ 編輯: Lindemann (140.113.25.220), 12/17/2018 16:29:27
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