Re: [問卦] 數學大戰誰是支持=-1/12的？已回收

看板Gossiping作者canilogin (天氣預報)時間5年前 (2018/12/08 00:55)推噓3(3推 0噓 9→)

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※ 引述《YoRhaA2 (YoRhaA2)》之銘言： : ※ 引述《a1234a123499 (alah)》之銘言： : : 物理哥又回來啦 : : 曲未終，人未散，大家拿起雞排來觀戰 : : 但現在是誰支持1+2+3+……=-1/12他們大戰大多在打私生活有點看不出來到底誰是支持誰是反對，想請教一下 : : 學工程的我也無法接受這個，是物理哥支持-1/12,還是土條支持，請教一下 : 其實也沒有人支持 1+2+3+……=-1/12 啦 : 事情是這樣的： : 大家在學微積分的時候，應該有學過 : 無窮級數和 "1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s ..." : 在 s > 1 的時候收斂；在 s <= 1 的時候發散 s=1的時候，就是著名的調和級數：1+1/2+1/3+1/4+... 這個級數是發散的，國高中的數學程度就能證明，隨便google也都能查到，套用成物理的例子，直立成疊的撲克牌，一張一張往外推，如果不限牌數，在不讓撲克牌倒塌的前提下，最遠可推出多長？發散代表可推出無窮遠的長度！這個分界點特殊在，不僅在實數線上有明顯的特性，在複數定義域上，也是經解析延拓的zeta函數唯一的不可解析點。 : 而其實呢，在有定義 e^(x+iy) = e^x (cosy+isiny) 之下， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 這裡感覺省略了些，可能會有板友看不懂， e^(x+iy) = (e^x)乘(cosy+isiny) 這也代表，任何複數都能寫成e的複指數相量形式。簡單來說就是，複數的實數次方直接相乘就好，比方說(x+iy)^2就是(x+iy)乘(x+iy)，而實數的複數次方，比如說2^(x+iy)，可寫成e^ln{2^(x+iy)}=e^{(x+iy)(ln2)}，其他同一般實數的指數對數運算，再套用上面那個歐拉公式去算，複數的複數次方稍複雜，此處略過不提。 : 也就是有定義複數指數的話， : "1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s ..." 對於任何實部大於1的複數s會收斂 : 所以我們可以定義一個函數 f : f(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s ... for all Re(s) > 1. : 至於 s 實部小於or等於1的時候，就不在這個 f 定義域裡面了。 : 不過後來有一個 zeta funtion，定義域比f更廣， : 而且 zeta(s) = f(s) for all Re(s) > 1， : 也就是在f的定義域之內，zeta 和 f 的函數值都是一樣的如果用比較簡單的實數函數來舉例，比如： 1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x) 在∣x∣<1的時候，等式成立，但在其他∣x∣>1的時候，只有右邊式子有值，左邊無窮級數則是發散的。那麼定義域較廣的函數1/(1-x)可稱為f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...的一種延拓，兩個函數在定義域∣x∣<1的區間內，表現是一模一樣的。 : 除此之外， zeta(-1) = -1/12 : 但從來沒有人說過 zeta(-1) 等於 f(-1) : 因為 f 根本就沒有定義 s<=1 時候的值 : 至於那些整天大喊 "1+2+3+4+5....... = -1/12" 的 ... 你們懂的 zeta函數在複數域的解析延拓，其特殊的地方是，經延拓之後的可解析函數是唯一的，並不是可以隨便任意延伸的，這牽涉到複數函數可解析的微分條件，所以有特定的規則與可推測性。其實複數域就類似實數線的一種延拓，比如我們在解代數方程時： "x^2+x+2=0" 沒有實數解，代公式可輕易得知，引入複數後，則有成對的共軛複數解，代數基本定理也因此成立。這樣的延拓可能讓計算或證明變得更簡單，或是能產生更多的思路，像"1+2+3+4+...= -1/12"這樣的結果，其實是先由歐拉以不嚴謹的方式導出，還有其他像"1^2+2^2+3^2+4^2+...=0"，"1^3+2^3+3^3+4^3+...=1/120"，奇妙的是，這些與經過嚴謹的解析延拓後，所計算出的zeta函數值是一樣的！這說明在牽涉到無限的無窮級數的世界，有許多令人驚奇的數學奧秘存在。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 175.182.103.78 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1544201746.A.EF7.html

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mr955258

12/08 00:58, 5年前 , 1^F

12/08 00:58, 1^F

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hyuchi0202

12/08 00:59, 5年前 , 2^F

12/08 00:59, 2^F

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canilogin

12/08 01:09, 5年前 , 3^F

12/08 01:09, 3^F