Re: [問卦] 要如何向小朋友解釋”先乘除後加減”？已回收
※ 引述《CKLee (嫩之使者)》之銘言：
: ※ 引述《Sidney0503 (Sidney0503)》之銘言：
: : 簡而言之
: : 就跟他說因為自然數加法是abelian group的operator
: : 此operator存在加法單位元素0 即a+0=a 而且有交換性 即a+b = b+a
: : 乘法放進去是ring的第二operator
: : ring的定義是第二operator(*)對於第一operator(+)具有分配性
: : 所以 a*(b+c)=a*b+a*c
: : 但是加法對乘法沒有分配律 因此如果加法沒有括號起來就沒有分配的另一個對象
: : 所以a+(b*c) = a+ b*c
: : 也是一般所謂的乘法有優先權
: : 很簡單吧
: 這篇回文寫得不錯，不過這次遇到的問題比較像是「為何定義這樣定？」
: 因此容敝魯再多補充一些，把細節講清楚，但略過部分的證明。
: 首先，因為 Ring 的定義本來就是從整數 Z 複製過來，然而 Z 又是從正整數 N 構造
的?
: 因此本篇文主要回答在 N 上的「先乘(除)後加(減)」問題。
: （知道 Z 是 N 的 quotient set 的，應該就知道敝魯的意思。
: 不知道的也沒關係，此非本篇重點）
: Step 1:正整數之定義與正整數上的運算
: 數學家當初發展集合論的時候，便想要把所有數學世界的物件都回歸集合，即使是最自
然
: 存在的正整數也不例外。一般最耳熟能詳的正整數定義就是皮亞諾公理，在此用比較口
語
: 化的方式來表述之。
: Definition: (Peano Axioms)
: 正整數是一個集合 N，並且滿足以下五個條件。
: a. N 裡面有一個數字 1
: b. 存在一個「後繼函數」S: N → N，此時對每個 N 裡的數字 n，S(n) 稱作 n 的後
繼?
: c. 如果有兩個數滿足 S(m) = S(n)，則 m = n （亦即 S 是 injective）
: d. 在 N 裡面，不存在任何數字 n 使得 S(n) = 1 （亦即 1 不落在 S(N) 裡面
）
: e. 若有一個 N 的子集合 K 滿足以下兩點：
: (1) 1 在 K 裡面
: (2) 如果數字 n 在 K 裡面，則 S(n) 也會在 K 裡面
: 則 K = N （亦即在 N 上可以作數學歸納法）
: 如果有鄉民現在看不懂，你可以先偷偷地把 S(n) 想成 n+1，這樣應該就全看懂了~
: 上面的定義完全沒有觸及到正整數的運算，現在我們來定義加法。
: Definition: (Addition on N)
: 我們定義一個二元運算 + 如下：給定一個正整數 n，定義
: +: N x N → N
: (1,n) → S(n)
: (S(m),n) → S(+(m,n)) if +(m,n) is defined
: 根據皮亞諾公理的 e，此 + 的定義域成功擴展到 N x N，並將 + 稱作正整數上的加
法
: 另外為了方便，我們將 +(m,n) 書寫成 m + n，因此 S(n) = 1 + n。
: Theorem: (Properties of Addition)
: 以上定義的加法 + 滿足下列兩件事情。
: a. 對任意的正整數 k, m, n，都有 (k + m) + n = k + (m + n) （亦即有結合率）
: b. 對任意的正整數 m, n，都有 m + n = n + m （亦即有交換率）
: 證明就是用數學歸納法來證就可以了，這留給有興趣的鄉民自己作作看。
: 我們定義的加法只有二元運算，也就是一次只能兩個數字加起來，遇到要加超過三個數
字
: 就必須使用括號，告訴我們是誰先加誰後加。不過因為有結合率，先加後加沒有差別，
因
: 此加法就省略括號了。
: 接著我們來定義乘法~
: Definition: (Multiplication on N)
: 我們定義一個二元運算 * 如下：給定一個正整數 n，定義
: *: N x N → N
: (1,n) → n
: (S(m),n) → *(m,n) + n if *(m,n) is defined
: 根據皮亞諾公理的 e，這個 * 的定義域擴展至 N x N，此時稱 * 為正整數上的乘法
: 為了方便，我們將 *(m,n) 書寫成 m*n，就是大家熟悉的乘法記號囉~
: Theorem: (Properites of Multiplication)
: 以上定義的乘法 * 滿足下列三件事情。
: a. 對任意的正整數 k, m, n，都有 (k*m)*n = k*(m*n) （亦即有結合率）
: b. 對任意的正整數 m, n，都有 m*n = n*m （亦即有交換率）
: c. 對任意的正整數 k, m, n，都有 (k+m)*n = (k*n)+(m*n) （亦即有乘法對加法
: 以及 k*(m+n) = (k*m)+(k*n) 的分配率）
: 這三條的證明同樣可以使用數學歸納法，此處省略之。
: 另因為乘法也是定義成二元運算，所以當我們要處理三個數字相乘時要使用括號告訴我
們
: 誰先乘誰後乘。不過有了結合率後，我們也在這邊省略了括號了。
: 讀到這邊，各位應該可以發現其實上述定義其實也沒這麼神秘，因為加法就是照我們的
常
: 識去定義的，乘法也是照我們所熟悉的「反覆累加」來定義，因此應該都算直觀 :)
: 記得有一位鄉民在原文有問「為何加法對乘法沒有分配率？」，相信這邊應該已經充分
地
: 回答了他的問題了。（因為算一下就會發現沒有Q_Q）
: Step 2: 先乘(除)後加(減)?!
: 其實一切的根源都來自括號省略的問題，當一堆二元運算碰在一起的時候本來就要加上
括
: 號來搞清楚操作的順序。目前我們知道加法連續操作跟乘法連續操作都可以分別省略括
號
: 那問題當然就來自加法跟乘法的混合操作了，也就是 k+m*n 究竟應該代表
: (k+m)*n 還是 k+(m*n) 呢？
: （能問出這種問題的小朋友蠻不錯的，有在動腦而不是死板的把知識吞下去）
: 我自己的認知也如同原文，是問題來自乘法對加法的分配率
: 首先，假設我們遇到下列這個算式
: (x + y + z + w)*n
: 如果我們規定這種類型的算式（就是中間幾個加都可以）可以省略括號，變成
: x + y + z + w*n
: 那究竟這個沒有括號的算式是代表下列哪一個算式呢？
: x + y + (z + w)*n
: x + (y + z + w)*n
: (x + y + z + w)*n
: 沒人知道，而且這三個答案很可能都完全不同，因為用分配率寫開來分別變成
: x + y + (z*n) + (w*n)
: x + (y*n) + (z*n) + (w*n)
: (x*n) + (y*n) + (z*n) + (w*n)
: 這顯然是差多了，因此在這種情形下可以省略括號很容易帶來不必要的麻煩，所以此情
形
: 我們約定不省略括號。
: 那麼，如果是下面這種算式
: n + (x*y*z*w)
: 省略了括號會怎麼樣呢，變成
: n + x*y*z*w
: 那會不會誤會成
: (n + x)*y*z*w
: 呢？並不會，因為我們已經在前面約定好這種形狀我們是不省略括號的，如此一來
: n + x*y*z*w
: 只會有一種意思了，就是 n + (x*y*z*w)。
: 那你可能會問說，其他的形狀呢？比如說
: x*u + y*v + z*w
: 是從誰省略過來的呢？我們知道因為有分配率的緣故，因此如果原本算式長成
: x*(u + y)*(v + z)*w or x*u + y*(v + z)*w
: 之類的，括號都不該省略。因此它只能是 (x*u) + (y*v) + (z*w)，才不會造成岐義。
: 因此，這樣我們成功確立了「先乘(除)後加(減)」的合理性。
: 不過上面都沒講到減法跟除法呢，這是為何？因為在正整數 N 上沒辦法全域定義減法
跟?
: 法，所以上面就先略過了。不過在有理數 Q 上就有全域的減法以及除法了，建構方法
也?
: 從 Z 過去的，因此有分配率（詳情參考我快兩年前寫的一篇文，但那篇疑似消失了）
: 從這樣的觀點去看，就有「先乘除後加減」了~
: 希望這篇文可以解決各個鄉民在前面討論的一些疑惑 :)
推這篇，老實講我覺得從小學開始講代數說不定比較好，我高中數學補考過的，大學線代
A（電資學院開的）
老師從代數基本場群開始講到向量空間之後，讓我有種豁然開朗的感覺，後面突然都串起
來知道為什麼ㄌ
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噓
02/11 16:31,
6年前
, 1F
02/11 16:31, 1F
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本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 35 之 35 篇)：