Re: [試題] 100財金系轉系考題目

看板DoubleMajor作者hsnuyi時間12年前 (2011/07/26 14:34)推噓3(3推 0噓 16→)

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: 一、求極限 15% : （1） lim x^x : x→0+ ln(x) x^x = e^[xln(x)] = e^[-------], l'Hospital, e^(-x) 1 --- x 所以說原式 = lim e^(-x) = 1 x→0+ : （2） lim [(3^x+7^x)/2]^(1/x) : x→0 3^x+7^x ln(---------) 2 3^x*ln3 + 7^x*ln7 [(3^x+7^x)/2]^(1/x) = e^[---------------], l'Hospital, e^(-------------------) x 3^x + 7^x ln3 + ln7 所以說原式 = e^(-----------) = 21^(1/2) 2 : 二、積分 30% : （1）∫e^x / [e^(2x)-e^(-2x)]^(1/2) dx e^x dx --------------------------dx = --------------------- [e^(2x) - e^(-2x)]^(1/2) [1 - e^(-4x)]^(1/2) 4e^(-4x) 令 t = [1 - e^(-4x)]^(1/2), dt = ----------------------dx 2[1 - e^(-4x)]^(1/2) dt 1 1 1 1 所以說原式 = ∫---------- = ---∫(----- + -----)dt = ---[-ln(1-t) + ln(1+t)] 2(1-t^2) 4 1-t 1+t 4 1 1+t 1 (1+t)^2 1 (1+t)^2 = ---ln(-----) = ---ln[---------] = ---ln[---------] = ln[e^x*(1+t)^(1/2)] 4 1-t 4 1-t^2 4 e^(-4x) 1 1 1 = x + ---ln(1+t) = x + ---ln{1 + [1 - e^(-4x)]^(1/2)} = ---ln{e^(2x) + [e^(4x) - 1]^(1/2)} 2 2 2 : 　　 1 : （2）∫ e^(x^(1/2)) dx : 0 dx dx 令 t = x^(1/2), dt = ---------- = ----, dx = 2tdt 2x^(1/2) 2t 1 |1 1 |1 所以說原式 = ∫ 2te^t dt = 2te^t| - ∫ 2e^t dt = 2e - 2e^t| = 2e - 2e + 2 = 2 0 |0 0 |0 : （3）∫(2x^3+3x^2+2x+2)/(x^3)(x-1) dx 2x^3+3x^2+2x+2 -2 -4 -7 9 ---------------- = ----- + ----- + ---- + ----- x^3*(x-1) x^3 x^2 x x-1 1 4 所以說原式 = ----- + --- - 7ln|x| + 9ln|x-1| x^2 x : 三、畫圖 15% : 畫出 f(x)=2(x^2-25)/(x^2-16) 的圖形　　　　(完全沒變啊=口=) 在 x=4 及 x=-4 時有垂直漸近線在 y=2 有水平漸近線 x=5 及 x=-5 時圖形與x軸有交點 : 四、求y=ln(cosx) ，X＝0到X＝Pi/4之間的弧長 10% dy = -tan(x) dx pi/4 pi/4 |pi/4 ∫ (1 + [tan(x)]^2)^(1/2) dx = ∫ sec(x) dx = ln|tan(x) + sec(x)|| 0 0 |0 = ln|1 + 2^(1/2)| : 五、判斷 │x^2-1│ 在x = 1時可否微分。 10% |x^2-1| - 0 x^2 - 1 lim ------------- = lim --------- = lim (x+1) = 2 x→1+ x - 1 x→1+ x - 1 x→1+ |x^2-1| - 0 -x^2 + 1 lim ------------- = lim ---------- = lim (-x-1) = -2 x→1- x - 1 x→1- x - 1 x→1- 所以說不可微分 : 六、求斜率和切線方程 20% : 求出 z = (x^2)/2 + (y^2)/3 和 x=1 的交線，在點(1,3,2)的斜率和切線方程式過 (1,3,2)不在原方程上 2y dz 2y z = 1/2 + (y^2)/3, dz = ----dy, ---- = ---- 3 dy 3 2y 3 (z-2) = ----(y-3), 3z - 6 = 2y^2 - 6y, --- + y^2 - 6 = 2y^2 - 6y 3 2 9 6 +- 3*2^(1/2) y^2 - 6y + --- = 0, 2y^2 - 12y + 9 = 0, y = ---------------- = m(取加號) m'(取減號) 2 2 所以說切線有兩條 2m 2m' L1: (z-2) = ----(y-3), x=1; L2: (z-2) = -----(y-3), x=1 3 3 --

推

steve1012

07/26 15:06, , 1^F

07/26 15:06, 1^F

→

cherryhun

07/26 15:15, , 2^F

07/26 15:15, 2^F

嗯已更正囉

→

cherryhun

07/26 15:22, , 3^F