Re: [解題] 國中 數學
※ 引述《blackmasker (..)》之銘言:
:
: 1.年級: 國三
: 2.科目: 數學
: 3.章節: 總複習考卷
: 4.題目:
: 現有等臂天平一座,1克、2克、3克、......、21克等21種
: 不同重量的砝碼,請問最少須要幾種重量不同的砝碼,
: 就可以秤出1克、2克、3克、.......、21克等21種不同重量的物品,
: 請說明理由。(重量相同砝碼可有數個)
當你手上有兩個砝碼 a克、b克 (a>b)時,
1. 你就不需要「a+b」克
2. 你就不需要「a-b」克 :因為你可以把 b與物體同放左側、a放右側
3. 你就不需要所有「差為a」、「差為b」、「差為a-b」、「差為a+b」的組合,
舉例來說,如果你有 a=8、b=3 這兩個,你就不需要 11 和 5
同時,若你另有一個 c=9 的砝碼,那你就不需要
9+8=17 、 9-8=1 、 9+3=12 、 9-3=6 、
9+5=14 、 9-5=4 、9+11 = 20 和 9-11=-2 轉變為 11-9=2
也就是說 3 個砝碼,
假設他們三個(3數)、兩兩相加減(6數)、三者加減(4數)皆不相同--我簡稱為節約組合
那就可以秤出13個數字。
a) 我上面的舉例中,第一排的四個數就是「兩兩相加減」連同11和5 共有 6個數
第二排的四個數就是「三者加減」
b) 可以想像,8、3、9 三數各自「是加or是減」會產生2的3次 = 8 個數;
但其中有一半是負的,所以只能算作4個數
c) 如果學過排列組合,應該可以理解「兩兩相加」是C3取2 = 3個數,相減也有3數
你也可以把「相加、相減,所以乘以2」
視為是取出的兩數「分別是加還是減 = 2的2次 = 4個」 再「有一半是負的 ÷2」
跟據以上的個推論,若我有4個節約組合的砝碼,隨便舉個例子:1、10、100、1000
隨便加減都不可能重複,就是我所說的「節約」;
則這四個砝碼共可以稱出
4 + C4取2 * 2 + C4取3 * 4 + C4取4 * 8 = 4+12+16+8 = 40 個數
那麼,題目要秤的1~21 目前為止知道「3個砝碼不夠、4個可能夠」
但,4個真的夠嗎?
利用前面的討論經驗,
如果我有砝碼 1克,如果同時有 2 克 ,那2-1=1 就不「節約」了,所以我們先捨棄2
如果我有 1、3,就不需要2、4…… 那5呢? 5-3 = 3-1 也不「節約」
你會發現,追求「節約」的話,下一個會找到 9 ,再下一個會找到27
這是因為每個砝碼可以選擇「與物體一起放在左盤(-)、放在右盤(+)、不放」
所以一開始是 1
後來除了1外,若第2個是x克,則可以稱出 x-1、 x 、x+1 共 四個數
那麼你就會發現,如果不希望遺漏數字的話,x應讓要「1之後的第2個 = 3」
這樣就可以秤出 1、3-1、3、3+1 也就是 1~4
再來加入第三個砝碼,假設是 a 克
那麼除了一開始的 1~4 外,還可以稱出 a-1~4 、a、a+1~4
我刻意把它們列出來,是
1、2、3、4、a-4、a-3、a-2、a-1、a、a+1、a+2、a+3、a+4
那你就會發現 a 這個數字「在4之後的第5個」也就是 9
而 1克、3克、9克 三個砝碼一共可以稱出 13 個數字,13也就是 1+3+9 = 13
同理,再找下一個,就會是 13之後的第14個 = 27
而 1克、3克、9克、27克 四個砝碼一共可以稱出 40個數字
所以回答問題,要稱出 1~21,需要4個砝碼
BTW,這題到底跟國三有什麼關係啊?
--
有熊老師陪你教數學 (影片放在youtube頻道)
YouTube 頻道
http://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/
Facebook專頁
https://www.facebook.com/Teacher.Koala
歡迎前來分享教學心得 (也可以來問問題喲~~)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.105.234.175
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1492361114.A.005.html
※ 編輯: oodh (27.105.234.175), 04/17/2017 00:46:07
※ 編輯: oodh (27.105.234.175), 04/17/2017 00:52:02
推
04/17 15:09, , 1F
04/17 15:09, 1F
討論串 (同標題文章)