Re: [解題] 高一數學龍騰版課本多項式第二章p.125

看板tutor作者doa2 (邁向名師之路)時間12年前 (2011/11/21 23:40)推噓4(4推 0噓 8→)

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※ 引述《nasa6779 (W.W.J)》之銘言： : 1.年級：高一 : 2.科目：數學 : 3.章節：龍騰版課本第二章全多項式 : 版本、章節數、主題 : 4.題目： : 因為學生是個不喜歡算數學的妹妹，但最近為了要努力，很認真的算數學習題 : 不論我指定了多少份量的練習題，她不但努力的算完，還會自己預習! : (當老師遇到這種學生... 夫復何求Q_Q...) : 因妹妹不喜歡算數學，且數學不強， : 所以我每次都努力的想用最簡單易懂的方式講解題目，教她觀察題型等等... : 這次遇到龍騰版課本p.125的第6題和第7題，我有點被打敗， : 希望各位版友能教教我有沒有甚麼清楚易懂的方式來說明題目!> < : 6. 已知二虛數k與k^2都是實係數方程式x^3+ax^2+bx+1=0的根，求k的值和a,b的值 : 7. 設二次多項式f(x)有一次因式(x-1)，而且(f(x))^2-f(x)的一次項係數與常數 : 皆為0，求f(x) : 5.想法： : 6. 知必有一實數解，用牛頓定理得x=1 or x=-1 這邊不太對牛頓定理是用在整係數多項式找有理根本題沒有保證這個實根會是有理根 : 若x=1 , 則 (x-1)(x^2+mx-1) 因(x^2+mx-1)判別式必大於0，與題意不合 : 則必為x=-1 ,也就是必有(x+1)的因式 : 由根與係數關係得k*k^2*-1=-1, 得k^3=1 : k=1(不合),(-1+根號3i)/2, (-1-根號3i)/2 : 得方程式(x^2+x+1)(x+1)=x^3+2x^2+2x+1得a=b=2 這題應該是考虛根共軛 _ 也就是k^2=k _ 則k^2*k=k*k=|k|^2 (但99課綱好像不教複數絕對值) 又k為虛數故|k|不為0 因此由|k^3|=|k|^3=|k|^2知|k|=1 故k^3=1，即兩虛根分別為x^3=1的虛根再由三根積=-1知第三根為-1 : 7. 令f(x)=(x-1)(ax+b) : 則(f(x))^2-f(x)=[(ax^2+(b-a)x-b)]^2-(x-1)(ax+b) : 由於一次項係數與常數項皆為0，可得-2b(b-a)-(b-a)=0且b^2+b=0 : 得b(2b+1)(b-a)=0，b=-1/2(不合第二個式子) : 又由第二個式子知 b=0 or -1 (但0不合，因a≠0) : 所以多項式為 : -(x-1)(x+1)=-x^2+1 : 想請問這兩題有沒有更簡單易懂的解法?? : 還是這些就是惟一的解法了? 利用f(1)=0 (f(x))^2-f(x)的常數項=[f(0)]^2-f(0)=f(0)[f(0)-1]=0 可知f(0)=0或1 若f(1)=0且f(0)=0，則f(x)=ax(x-1)=ax^2-ax [f(x)]^2-f(x)的一次項係數= a = 0 不合若f(1)=0且f(0)=1，則f(x)=(x-1)(ax-1)=ax^2-(a+1)x+1 [f(x)]^2-f(x)的一次項係數=-2(a+1)-(a+1)=-3(a+1)=0 得a=-1，f(x)=-x^2+1 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.200.145.156

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