Re: [問題] 漸近線 雙曲線
※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: L_1:a_1x + b_1y + c_1 =0
: L_2:a_2x + b_2y + c_2 =0
: 為雙曲線的漸近線
: 想請問為什麼可以假設成 (a_1x + b_1y + c_1)(a_2x + b_2y + c_2 )=k (k不等於0)
: 我知道雙曲線上的點到兩漸近線乘積等於定值
: 2 2 2 2
: (若是標準式乘積為 a b 除以 a + b )
: 但是現在是相反
: 知道雙曲線怎麼反推他的方程式一定可以這麼做假設呢?!
你應該有算過, 雙曲線上任一點到兩漸近線的距離為定值
ok, 我們照你的假設,
所以我們可以知道雙曲線上任意點 (x, y) 到 L_1, L_2 的距離乘積為定值 h
|a_1x + b_1y + c_1|/(a_1^2 + b_1^2)^(1/2) *
|a_2x + b_2y + c_2|/(a_2^2 + b_2^2)^(1/2) = h
把式子整理一下, 你會得到
|a_1x + b_1y + c_1|*|a_2x + b_2y + c_2|
= h * (a_1^2 + b_1^2)^(1/2) * (a_2^2 + b_2^2)^(1/2)
在 L_1, L_2 已知的條件下,
等號右側的 h * (a_1^2 + b_1^2)^(1/2) * (a_2^2 + b_2^2)^(1/2)
也是定值, 甚至我們可以把等號左側的絕對值之 正負號, 也交由右側來處理
於是, 設 ±h * (a_1^2 + b_1^2)^(1/2) * (a_2^2 + b_2^2)^(1/2) = k
則 (a_1x + b_1y + c_1)(a_2x + b_2y + c_2) = k
就可以表現出 (x, y) 的 x 與 y 的關係
而我們又知道, 這個關係, 其實就是雙曲線的方程式
所以就有這樣子的方式了
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