Re: [解題] 向量與三角函數
※ 引述《drmath (晴天裡的冬季)》之銘言：
: 1.年級：二年級
: 2.科目：數學
: 3.章節：向量或三角
: 4.題目：已知∠ABC=60度，p為∠ABC內部一點，
: ╴ → →
: PB=20，今分別在 BA，BC上取一點Q,R P2 C
: ∕
: 求△PQR周長最小值？ R∕ P
: ∕ ╱
: 5.想法： ∕ ╱
: ∕╱
: B ╴╴Q╴╴╴╴A
:
如圖，做P對AB的對稱點P1、對BC的對稱點P2
將P1、P2連接交AB於Q，交BC於R P1
此時△PQR周長=PQ+QR+RP=P1Q+QR+RP2=P1P2(最小值)
令∠PBC=a，∠PBA=b，a+b=60度，∠P1PP2=120度，再設 PP2 = 2x，PP1 = 2y
sin a = x/20，sin b = y/20， 4x^2 + 4y^2 - PP1^2
cos∠P1PP2=-1/2 = -------------------
x = 20sina，y = 20sinb 代入 2*2x*2y
2 2
PP1^2 = 4x^2 + 4y^2 + 4xy = 1600(sin a +sin b + sina*sinb)
2 2
= 1600[-(-sin a - sin b)-1/2*(cos60度-cos(a-b))]
2 2
= 1600[-(cos a-1- sin b]- 1/4 + 1/2cos(a-b)]
= 1600[-cos60度cos(a-b) + 1 - 1/4 + 1/2cos(a-b)]
= 1600 * 3/4 = 1200 => P1P2 = 20√3 #
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◆ From: 218.168.231.139
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03/08 02:13, , 1F
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