Re: [解題] 高中有關 複數 Z的題目
※ 引述《kevinchang ()》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：複數
: 4.題目：
: |Z-1| + |Z+3| =4
: 求 |Z-i| 之最大 以及 最小值?
: 5.想法：
: |Z-1| = [(a-1)^2 + b^2 ]^1/2
: |Z+3| = [(a+3)^2 + b^2 ]^1/2
: 所以 [(a-1)^2 + b^2 ]^1/2 + [(a+3)^2 + b^2 ]^1/2 = 4
: 求 [a^2 + (b-1)^2]^1/2 之最大最小值
: 下一步就不知道如何是好了@@
純代數的解法(也就是現在高一可以用的方法)
Z = a + bi
((a - 1)^2 + b^2)^(1/2) + ((a + 3)^2 + b^2)^(1/2) = 4
=> (a - 1)^2 + b^2 = 16 - 8((a + 3)^2 + b^2)^(1/2) + (a + 3)^2 + b^2
=> 8((a + 3)^2 + b^2)^(1/2) = 16 + a^2 + 6a + 9 + b^2 - a^2 + 2a - 1 - b^2
=> 8((a + 3)^2 + b^2)^(1/2) = 8a + 24
=> ((a + 3)^2 + b^2)^(1/2) = a + 3
=> (a + 3)^2 + b^2 = (a + 3)^2
所以 b = 0 代回
((a - 1)^2 + b^2)^(1/2) + ((a + 3)^2 + b^2)^(1/2) = 4
=> ((a - 1)^2)^(1/2) + ((a + 3)^2)^(1/2) = 4
=> |a - 1| + |a + 3| = 4
由實數的絕對值, 在數線上的意思,
可以得到 -3 <= a <= 1
所以, (a^2 + (b - 1)^2)^(1/2) = (a^2 + 1)^{1/2)
即, (a^2 + 1)^(1/2) 的 Max/min 即為 |Z - i| 的 Max/min
由 -3 <= a <= 1 可得 0 <= a^2 <= 9
所以 1 <= (a^2 + 1)^(1/2) <= 10^(1/2)
即 |Z - i| 的 Max = 10^(1/2), min = 1
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