討論串積分問題
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這個叫 Frullani's Integral. lim f(x) 存在 記做 f(∞). x->∞. ∞ f(ax) - f(bx). ∫ -------------------- dx = [f(∞) - f(0)] ln (a/b). 0 x. 這三題 f(x) = arctan, cos,
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∞ arctan(bx) - arctan(ax). (a) ∫ ------------------------- dx. 0 x. ∞ arctan(xy) |y = b. = ∫ ------------| dx. 0 x |y = a. ∞ b 1. = ∫ ∫ ------------ d
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-ax -bx. ∞ e - e. (c) ∫ ------------- dx. 0 x. -xy |y=b. ∞ -e |. = ∫ -------| dx. 0 x |y=a. ∞ b -xy. = ∫ ∫ e dydx. 0 a. b ∞ -xy. = ∫∫ e dxdy. a 0. b R
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If b > a > 0. ∞ arctan(bx)-arctan(ax) π ︱ b ︳. (a)∫ ------------------------ dx = ---- ㏑︱---︳. 0 x 2 ︱ a ︳. ∞ cosax - cosbx ︱ a ︳. (b)∫ --------------
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