[考古] 台大101數學系微積分(A) 題目是錯的
因為Babi在數學板問台大101數學系微積分(A)的第三題
數學板不知道什麼時後刪文
為了方遍以後想找的人
我在這邊再貼一遍
這個問題是(也許不是考題!請見推文下方的註解)
kysin(kr1)sin(kr2)
∫∫ ---------------------- dxdy
D r1r2
where k is a constant, r1 = sqrt((x+1)^2+y^2)
r2 = sqrt((x-1)^2+y^2)
and D is the half of the ellipse √[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2] ≦4
, which is in y > 0.
我的回答是
原積分I = 2∫∫ f(x,y) dxdy
橢圓第一項限D'
令u = sqrt((x+1)^2+y^2) + sqrt((x-1)^2+y^2)
w = 4x
sin(kr_1)sin(kr_2) r_1 r_2
I = 2∫∫────────── ky ────── dw du
D' r_1 r_2 4yu
-k
= ──∫∫ [cos(ku) - cos(kw/u)](1/u) dw du
4 D'
k sin(kw/u) 2u
= ──∫ [────── - (w/u)cos(ku)] | du
4 k 0
k sin(2k)
= ──∫ [───── - (2)cos(ku)] du
4 k
k u sin(2k) 2 sin(ku) 4
= ── [────── - ─────]|
4 k k 2
k 2 sin(2k) 2sin(4k) - 2sin(2k)
= ── [ ────── - ───────── ]
4 k k
= sin(2k) - (1/2) sin(4k)
= sin(2k) - sin(2k)cos(2k)
= 4 cos(k)[sin(k)]^3
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.220.147.235
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※ 編輯: Honor1984 來自: 128.220.159.5 (07/03 05:49)
剛剛看到原發問者寄給我的信通知我
題目中D is the half of the ellipse [(x+1)^2+y^2] + [(x-1)^2+y^2] ≦4
沒有根號......
這裡特別註明一下陰錯陽差的小過程
一開始Babi打成D is the half of the ellipse [(x+1)^2+y^2] + [(x-1)^2+y^2] ≦1
我當初很直覺用ellipse的定義√[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2]=const跟Babi推文
不可能≦1的理由就是在這裡
後來Babi真得把1改成4
所以我就以√[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2]≦4這個上半橢圓去計算這個積分
以上所打的過程的D我是用區域√[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2]≦4去計算
不管這樣的D到底是不是出題者想要考的
D為上半橢圓是一個很出得不錯的積分問題
其實我不知道到底是考題加忘了根號使它成為一般橢圓的定義條件
√[(x+1)^2+y^2] + √(x-1)^2+y^2 ≦4
或者是出題者真得就只是在搞一個無聊的陷阱
x^2 + y^2 ≦ 1
如果是前者
我做出來的答案確定是正確的
如果是後者單純的圓形區域
我想各位有興趣可以試著練習看看
※ 編輯: Honor1984 來自: 128.220.159.5 (07/04 03:02)
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07/13 20:39, , 8F
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