Re: [積分] 積分問題
※ 引述《TerryHsu (Terry)》之銘言：
: 想請問(2-x^2)^(3/2)dx這題
: 感謝
令 x = (√2)(sinθ) , 則 dx = (√2)(cosθ) dθ
∫(2-x^2)^(3/2) dx
= ∫(((2)((cosθ)^2))^(3/2))(√2)(cosθ) dθ
= ∫(4)((cosθ)^4) dθ
= ∫(4)(((cosθ)^2)^2) dθ
1 + cos2θ
= ∫(4)((-----------)^2) dθ
2
= ∫ 1 + 2cos2θ + (cos2θ)^2 dθ
1 + cos4θ
= ∫1 + 2cos2θ + ------------ dθ
2
3 cos4θ
= ∫--- + 2cos2θ + -------- dθ
2 2
3θ sin4θ
= ----- + sin2θ + -------- + c
2 8
3θ (sin2θ)(cos2θ)
= ----- + (2)(sinθ)(cosθ) + ------------------ + c
2 4
3θ (sinθ)(cosθ)(1 - (2)((sinθ)^2))
= ----- + (2)(sinθ)(cosθ) + ------------------------------------ + c
2 2
3θ 5
= ----- + (---)(sinθ)(cosθ) - ((sinθ)^3)(cosθ) + c
2 2
3 -1 x 5 x
= (---)(sin (---)) + (---)(-----)(√(1 - ((x^2)/2)))
2 √2 2 √2
x
- ((----)^3)(√(1 - ((x^2)/2))) + c
√2
3 -1 x 5 x^3
= (---)(sin (---)) + (---)(x)(√(2 - x^2)) - (-----)(√(2 - x^2)) + c
2 √2 4 4
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05/15 20:11, , 1F
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