Re: [微分]三角反函數

看板trans_math作者 (君語)時間14年前 (2011/12/07 19:33), 編輯推噓8(8推 0噓 46→)
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我想你可能還沒搞懂反函數的定義 1.先從最基本的定義開始 首先 若我們寫一個函數,假設 y=f(x) =2tanx 指的是 當x=某個值 對應的y為多少 -1 相反的,y=f(x)=2tanx的反函數Y= f (X)意謂的是 當我給定f(x)的y值時 對應的x值 -1 反函數這邊Y和X都和原本函數的x,y不一樣,只是科學家仍然習慣 y=f(x)的表示方式 兀 兀 -1 兀 舉例來說, y=f(----)= 2tan(---)=2 *1 =2, 所以f ( 2 )= --- 4 4 4 而一般而言,反三角函數有比較簡單的表示法 -1 也就是 y= tan x 指的是當 x=某個值時,哪個y取tan會等於x 2. -1 因為f ( f (x) )= x -1 -1 -1 d f( f(x) ) df( f(x) ) d( f(x) ) d => ----------- = ------------ --------- = ---(x) = 1 (chain rule) dx df(x) dx dx d -1 1 => ---- ( f (x) ) = -------------- dx -1 df( f(x) ) ---------- d f(x) -1 -1 x 2 今 f(x)=2tanx , f (x)= tan ( ---) => f'(x)=2 sec x 2 -1 => d f (x) 1 1 2 -------- = --------------------- = ------------------ = ------- dx 2 -1 x x 2 2 sec ( tan ( --- )) 2 ( 1+(---)^2 ) 4 + x 2 2 2 2 -1 x x 中間那一步,是因為 sec x = 1 +tan x ,而 tan(tan (---)) = --- 2 2 3.備註 事實上所有 反三角函數 及自然指對數函數的微分都應該當作基本公式 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.26.161.79 ※ 編輯: julang 來自: 114.26.161.79 (12/07 19:35)
推
12/08 00:57, , 1F
推備註
12/08 00:57, 1F
推
12/08 01:00, , 2F
在證法中，先假定反函數可微，才能chain
12/08 01:00, 2F
→
12/08 01:01, , 3F
至於嚴謹話應該要用反函數定理吧
12/08 01:01, 3F
→
12/08 06:57, , 4F
反函數存在=>f(x)一定是1-1函數
12/08 06:57, 4F
→
12/08 06:58, , 5F
所以f'(x)必定有不為零的區間
12/08 06:58, 5F
→
12/08 06:59, , 6F
這樣不是由反函數存在條件
12/08 06:59, 6F
→
12/08 07:00, , 7F
就保證反函數會有可微的區間嗎?
12/08 07:00, 7F
推
12/08 08:32, , 8F
感謝^^
12/08 08:32, 8F
推
12/09 00:59, , 9F
就算f'(x)不為零，怎麼說反函數可微??
12/09 00:59, 9F
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12/09 07:41, , 10F
在某一點可微,就是旨在該點微分存在
12/09 07:41, 10F
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12/09 07:42, , 11F
既然反函數與原函數合成是恆等式
12/09 07:42, 11F
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12/09 07:43, , 12F
同時微分,也會是在某個區間的恒等式
12/09 07:43, 12F
→
12/09 07:45, , 13F
又f'(x)不恆為0,故反函數微分存在(即可微)
12/09 07:45, 13F
→
12/10 00:08, , 14F
那這樣的前提就是原函數可微?
12/10 00:08, 14F
→
12/10 00:11, , 15F
再者有反函數存在, 由於一對一映成, 故可推
12/10 00:11, 15F
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12/10 00:12, , 16F
得反函數微分存在...囉?
12/10 00:12, 16F
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12/10 00:13, , 17F
又由反函數的合成概念, 由Chain Rule導證公式
12/10 00:13, 17F
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12/10 10:12, , 18F
對,只要f(x)可微,其反函數必定有可微的區間
12/10 10:12, 18F
→
12/10 10:14, , 19F
另種觀點,f(x)在某點可微,由微分的定義
12/10 10:14, 19F
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12/10 10:15, , 20F
它會在那點連續而且左導數等於右導數
12/10 10:15, 20F
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12/10 10:16, , 21F
即:f(x)在該點smooth
12/10 10:16, 21F
→
12/10 10:17, , 22F
反函數只是將它沿y=x作對稱
12/10 10:17, 22F
→
12/10 10:17, , 23F
不會破壞原本smooth的特性
12/10 10:17, 23F
推
12/10 14:45, , 24F
"f(x)可微,其反函數必定有可微的區間"why
12/10 14:45, 24F
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12/10 19:43, , 25F
因為反函數和原函數的特性, 一對一映成
12/10 19:43, 25F
→
12/10 19:44, , 26F
且具 x = y 對稱, 於若原函數於該區間內可微
12/10 19:44, 26F
→
12/10 19:44, , 27F
即區間內曲線各點之切線斜率存在且唯一, 故由
12/10 19:44, 27F
→
12/10 19:45, , 28F
具 x = y 對稱可得, 其反函數之切線斜率存在
12/10 19:45, 28F
→
12/10 19:46, , 29F
但...會不會出現恰好映成至反函數後, 切線為
12/10 19:46, 29F
→
12/10 19:46, , 30F
鉛直線呢? 這樣仍稱為可微嗎?
12/10 19:46, 30F
→
12/10 19:59, , 31F
我額外提的觀點,比較直觀,無法真正解釋
12/10 19:59, 31F
→
12/10 20:02, , 32F
只能某種程度解釋反函數是否能微分的問題
12/10 20:02, 32F
→
12/10 20:03, , 33F
另外 ,切線不可能為垂直線
12/10 20:03, 33F
推
12/10 20:04, , 34F
我會問這個問題是因為很久之前有想過
12/10 20:04, 34F
→
12/10 20:05, , 35F
有沒有不要用到反函數定理而去證明這件事
12/10 20:05, 35F
→
12/10 20:05, , 36F
"f(x)可微且不等於0,則反函數在該點可微"
12/10 20:05, 36F
→
12/10 20:06, , 37F
當時想很久都缺了些條件
12/10 20:06, 37F
→
12/10 20:06, , 38F
垂直線的斜率為無窮大
12/10 20:06, 38F
→
12/10 20:06, , 39F
所以我才問~~嚴謹證明除了反函數定理
12/10 20:06, 39F
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12/10 20:06, , 40F
有其他的媽??
12/10 20:06, 40F
→
12/10 20:07, , 41F
在某點可微是指該點導數=某個有限值
12/10 20:07, 41F
→
12/10 20:08, , 42F
znmkhxrw大,反函數定理是指什麼?
12/10 20:08, 42F
推
12/10 20:09, , 43F
高微後面才會講的大定理
12/10 20:09, 43F
→
12/10 20:09, , 44F
敘述的話wiki有~~太長了XD
12/10 20:09, 44F
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12/10 20:10, , 45F
簡單來說就是：一個C^1函數如果在某一點
12/10 20:10, 45F
→
12/10 20:10, , 46F
微分不為零，則存在一個鄰域使得這個函數
12/10 20:10, 46F
→
12/10 20:11, , 47F
在這個鄰域有C^1的反函數
12/10 20:11, 47F
→
12/10 20:11, , 48F
我不是數學背景的,論嚴謹性我不大清楚
12/10 20:11, 48F
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12/10 20:11, , 49F
因為chain rule的前提是，f,g都要可微
12/10 20:11, 49F
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12/10 20:12, , 50F
所以f(f^(-1)(x))這個要做chain rule
12/10 20:12, 50F
→
12/10 20:12, , 51F
必須確定f^(-1)(x)可微
12/10 20:12, 51F
→
12/10 20:14, , 52F
我認為 ,如果能證明反函數夠平滑,也能說明
12/10 20:14, 52F
推
12/12 23:56, , 53F
今天看Marsden的高微，他確實有證明了
12/12 23:56, 53F
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12/12 23:56, , 54F
先證明f^(-1) is conti.
12/12 23:56, 54F
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