Re: 反函數一題
※ 引述《gowiner (堯)》之銘言：
: 今天再某本書上看到的一題
: -1
: sin (sin3)
: 答案是pi-3
: 我不知道為什麼= = ((抱歉我觀念不是很好
: 不是應該直接就是3嗎.....................................
函數 sin(x), x in R 並非一對一, 因此它本來是不可逆
的. 所以, 為了定義 sin 的反函數, 必須限定其定義域.
sin(x), x in [-π/2,π/2] 是一對一的函數, 其值域是
[-1,1]. 因此可以定義 sin^{-1} 或名 arcsin:
arcsin: [-1,1] → [-π/2,π/2]
arcsin(x) = y if and only if
sin(y)=x and -π/2≦y≦π/2.
所以, arcsin(sin(x)) 並不一定是 x, 僅當 x 在 -π/2
至 π/2 之間時才有 arcsin(sin(x)) = x.
由於 sin(x+2nπ)=sin(x) 及 sin(π-x)=sin(x), 故
arcsin(sin(x)) = x±2nπ 或 (2n+1)π-x
視 x±2nπ 或 (2n+1)π-x 何者會落入 [-π/2,π/2].
x=3 時, π-3 在 [-π/2,π/2], 故
arcsin(sin(3)) = π-3.
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