Re: [張爸] 級數斂散性
※ 引述《debdeb ()》之銘言：
: ∞
: Σ √(1-cos(1/n))
: n=1
: 解答為發散
: 不過我不知道要用哪個test才做得出來
: 麻煩指點一下，謝謝！
觀察其泰勒展開式以搜尋靈感:
√(1-cos(1/n)) = √(1-( 1 - (1/n)^2/2! + (1/n)^4/4!-.....))
= √((1/n)^2/2! - (1/n)^4/4! .....)
≒ C/n as n 足夠大 ,C is a constant
故用極限比較檢驗與1/n比:
√(1-cos(1/n)) 1-cos(1/n)
lim --------------- = √( lim --------------)
n →∞ 1/n n →∞ 1/n^2
-(1/n^2)sin(1/n)
= √( lim ----------------)
n →∞ -2/n^3
sin(1/n)
= √( lim ----------------)
n →∞ 2(1/n)
let t = 1/n
sin t
= √( lim --------) = 1/√2
t →0+ 2t
故原級數和Σ1/n同歛散,得原級數發散
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◆ From: 61.231.97.62
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10/09 22:47, , 1F
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推
11/04 17:12, , 2F
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