Re: [積分] 一題經典題
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對k=1,2,..,n, 由de Moivre定理可得
kπ kπ
(cos------ + i sin------)^(2n+1) = (-1)^k
2n+1 2n+1
n kπ kπ
上式虛部 0 = Σ C(2n+1,2r) (cos------)^(2r) (sin------)^(2n+1-2r) (-1)^(n-r)
r=0 2n+1 2n+1
kπ
除以(sin------)^(2n+1)可得
2n+1
n kπ
Σ C(2n+1,2r) (-1)^(n-r) (cot------)^(2r) = 0
r=0 2n+1
故得
Lemma 1.
n kπ
Σ C(2n+1,2r) (-1)^(n-r) x^r = 0 之根為 (cot------)^2, k=1,2,..,n.
r=1 2n+1
當 0<θ<π/2 時, sinθ<θ<tanθ, 故cotθ<1/θ<cscθ
所以有
(i) (cotθ)^2<1/θ^2<(cscθ)^2 => 0<1/θ^2-(cotθ)^2<1.............(1)
(ii) (cotθ)^4<1/θ^4<(cscθ)^4
=> 0<1/θ^4-(cotθ^4)<(cscθ)^4-(cotθ)^4=1+2(cotθ)^2........(2)
kπ
將θ=------, k=1,2,..,n 分別代入後相加, 可得
2n+1
(2n+1)^2 n 1 n kπ
(1-1) 0 < ---------- Σ ------- － Σ (cot------)^2 < n
π^2 k=1 k^2 k=1 2n+1
(2n+1)^4 n 1 n kπ n kπ
(2-1) 0 < ---------- Σ ------- － Σ (cot------)^4 < n+2Σ (cot------)^2
π^4 k=1 k^4 k=1 2n+1 k=1 2n+1
由Lemma 1及根與係數的關係,可知
n kπ C(2n+1,3) 2n^2-2n
Σ(cot------)^2 = ----------- = ---------
k=1 2n+1 C(2n+1,1) 3
n kπ 2n^2-2n C(2n+1,5) 8
Σ(cot------)^4 = (---------)^2 － 2 ----------- = ----n^4 + O(n^3)
k=1 2n+1 3 C(2n+1,1) 45
代入(1-1), (2-1)後, 分別除以(2n+1)^2,(2n+1)^4, 再讓n→∞
由夾擊定理可得
∞ 1 π^2
Σ ----- = ------
k=1 k^2 6
∞ 1 π^2
Σ ----- = ------
k=1 k^4 90
同理可算
∞ 1
Σ -------- , k 正整數
n=1 n^(2k)
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