Re: [積分] 一題經典題
※ 引述《jason90023 (Ray allen Iverson)》之銘言：
: ∞ x^3
: ∫ ----------dx=pi^4/15
: 0 e^3 + 1
e^(x) + 1才對
題目打完後再檢查一遍很困難嗎?
如果有人好心想要幫你解答這些問題
到頭來發現原來題目根本就是錯的
這樣不是很浪費別人的時間嗎?
丟個題目走人之前
請回過來頭檢查有沒有打錯
: 後來算到級數的sum 1/n^4就卡住了@@
: 不知道要怎麼算出他是pi^4/90
∞ x^3
∫ ----------dx
0 e^x + 1
x^3e^(-x)
= ∫ ------------ dx
1 + e^(-x)
= -∫ Σx^3*e^(-kx) de^(-x)
k=0
e^[(-k-1)x] 3x^2*e^[(-k-1)x]
= - Σx^3*-------------- + Σ∫ ---------------- dx
k+1 k+1
6 e^[(-k-1)x]
= Σ ∫ ----------- dx
(k+1)^3
- 6 e^[(-k-1)x] ∞
= Σ ----------------- [
k=0 (k+1)^4 0
6
= Σ ----------
k=1 k^4
= 6 ζ(4)
π^4
= ---------
15
如果沒記錯 這應該是Planck電磁輻射計算過程中可能會算到的積分
1
你如果要問Σ----這應該不是一般微積分技巧可以做出來的
k^4
可以的話 Bernoulli自己老早就做出來
因為這裡是初微板 不想扯上複變的話
用複利葉級數方法就有幾種可以求得這個和
例如f(x)=x^2或者鋸齒形狀的函數都可以
但是我蠻好奇有考試會這樣出的
照理說寫到6ζ(4)應該就可以了
這個題目應該要給ζ(4)
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※ 編輯: Honor1984 來自: 122.124.107.163 (09/26 00:44)
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