Re: [考古] 中興93年 1.C題
看板trans_math作者PaulErdos (My brain is open)時間17年前 (2009/04/13 16:42)推噓3(3推 0噓 0→)留言3則, 3人參與討論串2/2 (看更多)
※ 引述《skyword (天)》之銘言：
: 1
: lim ---- Σ k^4 (從1到n)
: n->∞ n^5
: 題目簡單
: 但是 Σ k^4 是多少我不知道...
: 可能的話可以順便告訴我怎麼證明嗎?
: 感謝
簡單地說
你是想知道 Σ k^4的公式
至於"證明"
我猜你想問的是"推導過程"吧
因為證明只須用數學歸納法就好了
這問題我高一有想過
先從排列組合的問題著手
N格放1球
N
方法數有 C ＝ N
1
接著考慮放2球的情形
N-1
先將第一顆球放在第1格 則第二顆球有 C 種方法
1
N-2
2 C
1
.
.
. 1
n-1 C
1
因此得到
N N-1 i N-1 (N－1)N
C ＝ Σ C ＝Σ i＝ ────
2 i=1 1 i=1 2
以同樣方式處理3顆球的情形 得到
N N-2 i N-2 (i－1)i (N－2)(N－1)N
C ＝ Σ C ＝ Σ ──── ＝ ────────
3 i=2 2 i=2 2 3!
N
最右邊的等號是直接套最左邊的 C 的結果
k
於是 一般而言 就有
N N-p i N-p (i－p＋1)…(i－1)i (N－p)…(N－1)N
C ＝ Σ C ＝ Σ ────────── ＝ ─────────
P+1 i=p p i=p p! (p＋1)!
將最後一個等號的兩邊做變數代換 n＝N-p , k＝i－p＋1
n k(k＋1)…(k＋p－1) n(n＋1)…(n＋p)
Σ ────────── ＝ ─────────
k＝1 p! (p＋1)!
不過這個式子早就被發現而且很有名了
1636年法國數學家Fermat
興高采烈地給朋友寫了一封信：「我已解決了在算術中可以算是最漂亮的一個問題。」
就是指這個式子
現在代p＝4
n k(k+1)(k+2)(k+3) n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
Σ ──────── ＝ ───────────
k=1 4! 5!
5 4
n 4 3 2 n ＋ 10n ＋ 35n ＋ 50n ＋24n
Σ ( k ＋ 6k ＋ 11k ＋ 6k )＝ ────────────────
k=1 5
n 3 n 2 n
Σ k Σ k Σ k 這三個皆已知
k=1 k=1 k=1
n 4
代入就可以解出 Σ k
k=1
另外 從
n k(k＋1)…(k＋p－1) n(n＋1)…(n＋p)
Σ ────────── ＝ ─────────
k＝1 p! (p＋1)!
這式子
可很顯然地看出
n p 1
Σ k 的最高次項係數是 ────
k=1 (p＋1)
所以也不必真的乖乖做出來
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◆ From: 140.112.243.42
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※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.243.42 (04/13 22:45)
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