Re: [積分] 難
※ 引述《chingyes (axsazxc)》之銘言：
: http://0rz.tw/455fB
: http://0rz.tw/575dF
: http://0rz.tw/eb5cu
: http://0rz.tw/115cN
: http://0rz.tw/f359H
: 以上5題是小弟挑出來的經典難題
: 希望有神人可幫個1.2題@@
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1.http://0rz.tw/455fB
dx = (1/v)du + (-u/(v^2))dv
dy = 0 + 1 dv
∴|J|= (1/v)
又 1 ≦xy≦ 2 and x ≦y≦ 4x
∴ 1 ≦u≦ 2 and (√u) ≦v≦ 2(√u)
─> C=1 D=2
2 2(√u) u
∫ ∫ ─── dv du = 1.5(㏑2)
1 (√u) v
2.http://0rz.tw/575dF
將 sin2θ 的圖 畫出來，會發現 0.5π─>π 和 1.5π─>2π 其面積為負，
所以，想求 |sin2θ| 的面積，需先將 這兩個區域的圖 翻上來，
由圖中可以發現，所求面積 = 4 x (0─>0.5π的面積)
0.5π
= 4 ∫ sin2θ dθ = 4
0
3.http://0rz.tw/eb5cu
(1)
y(1)=a+b+c+d=1
y(2)=8a+4b+2c+d=-1
y'(1)=3a+2b+c=0
y''(2)=12a+2b=0
─> a=1 b=-6 c=9 d=-3
(2)
1>先找出偏微分=0的點
f對x偏微分 = -2x+2=0
f對y偏微分 = 12-3(y^2)=0
解得 (x,y,f(x,y)) = (1,2,16) 或 (1,-2,-16)
2>檢查 誰是 saddle point，誰是極值點
│ (f對x偏微2次) (f對x偏微1次，再對y偏微1次)│
D = │ │
│(f對y偏微1次，再對x偏微1次) (f對y偏微2次) │
│ -2 0 │
= │ │ = 12y
│ 0 -6y │
D(1,-2)=-24<0 ∴(1,-2,-16) 是 saddle point 非極值點
D(1,2)=24>0 且 (f對x偏微2次)(1,2)=-2<0 ∴是 極大值點
─> a=1 b=2 c=16 a+b+c=19
(3)
a1 = 2i+j-k
a2 = i-j+3k
│ i j k │
∴a1×a2 = │ 2 1 -1 │= 2i-7j-3k
│ 1 -1 3 │
設點(x,y,z)在所求的平面上，則
{(x-1)i+(y-(-1))j+(z-4)k}˙(2i-7j-3k) =0
─> 2(x-1)-7(y+1)-3(z-4)=0
4.http://0rz.tw/115cN
距離=d={(x- 3/4)^2 + (y- 10/9)^2}^0.5
設 f = (x- 3/4)^2 + (y- 10/9)^2
ψ= 3x-2(y^2)=0
有極值產生時，代表 f和ψ兩曲線相接觸，
且接觸點的兩個法線向量互成一比例值 (-λ)
▽f(x,y) = -λ▽ψ(x,y)
─> ▽f(x,y) +λ▽ψ(x,y) =0
▽f(x,y)= 2(x- 3/4)i + 2(y- 10/9)j
▽ψ(x,y)= 3i + (-4y)j
即 2(x- 3/4)+λ(3)=0
2(y- 10/9)+λ(-4y)=0
λ= -(2/3)x+0.5 = 0.5-(5/9y)
和 ψ= 3x-2(y^2)=0 聯立
求得 x =(25/54)^(1/3) y=(5/4)^(1/3)
5.http://0rz.tw/f359H
∞ ∞
(1) ∫ 2exp(-2x) dx = - ∫ exp(-2x) d(-2x)
0 0
= - lim {exp(-2b)-1} = 1
b->∞
(2)
f'(x) = (x^2) -2x-3 =0
f"(x) = 2x -2 =0
∴ x=-1 極大值 , x=1 反曲點, x=3 極小值
f(-1)=17/3 , f(6)=22
─> f(6)=22 最大值
f(3)=-5 , f(-2)=10/3
─> f(3)=-5 最小值
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