Re: [考古] 政大經濟系求解
※ 引述《wo0228 (天碎之牙)》之銘言：
: 關於http://www.lib.nccu.edu.tw/exam/transfer/econo/index.htm
: 政大經濟系的微積分考古題!!由於題目有點多~先感謝大家了!!
: 96年的第六題和第八題
: 95年的第二題和第三題
: 94年的第二題和第五題和第七題
: 93年的第三題和第五題和第九題
: 拜託和麻煩大家拉!!>"<
94年第5題
解:先求 ((y_1)(y_2)...(y_n))^2 的最大值
n
受限於Σ (y_i)^2 = 1
i=1
令 f(y_1 , y_2 , ... , y_n) = ((y_1)(y_2)...(y_n))^2
n
g(y_1 , y_2 , ... , y_n) = Σ (y_i)^2 - 1
i=1
F(y_1 , y_2 , ... , y_n)
= f(y_1 ,...,y_n) + (λ)(g(y_1,...,y_n))
n
= ((y_1)(y_2)...(y_n))^2 + (λ)(Σ (y_i)^2 - 1)
i=1
Fy_1 = (2)((y_1)...(y_n))((y_2)...(y_n)) + 2λy_1 = 0 ------(1)
.
.
.
.
.
.
Fy_n = (2)((y_1)...(y_n))((y_1)...(y_(n-1))) + 2λy_(n-1) = 0 ------(n)
(1)*(y_1) + ... +(n)*(y_n)得
n
n(((y_1)...(y_n))^2) + (λ)(Σ (y_i)^2) = 0
i=1
λ = -n(((y_1)...(y_n))^2)代回(1)得
((y_1)...(y_n))((y_2)...(y_n)) - (n)(y_1)(((y_1)...(y_n))^2) = 0
1 1
----- - (n)(y_1) = 0 => 1 - (n)((y_1)^2) = 0 => (y_1)^2 = ---
y_1 n
1
同理 (y_i)^2 = --- , i = 1 , 2 , ... , n
n
1
因此 ((y_1)...(y_n))^2 的最大值為 -----
n^n
1
((y_1)...(y_n))^2 ≦ -----
n^n
(x_i)^(1/2) n
令 y_i = ---------------- , 則 Σ (y_i)^2 = 1
n i=1
(Σ x_i)^(1/2)
i=1
1
((y_1)...(y_n))^2 ≦ -----
n^n
(((x_1)^(1/2))...((x_n)^(1/2)) 1
(------------------------------)^2 ≦ -----
n n^n
(Σ x_i)^(n/2)
i=1
(x_1)...(x_n) 1
------------- ≦ -----
n n^n
(Σ x_i)^n
i=1
((x_1)...(x_n))^(1/n) 1
----------------------- ≦ ---
n n
Σ x_i
i=1
1 n
(---)(Σ x_i) ≧ ((x_1)...(x_n))^(1/n)
n i=1
--
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