Re: [單變] 積分不等式--證明
※ 引述《WZD (" ￣.￣)/ 錄取(！)》之銘言：
: 請問如何證得下列不等式，謝謝
: π １ π
: －＜∫ √(1-x^4)dx＜ －√２
: ４ ０ ４
: 感謝
1-x^4 = (1-x^2) (1+x^2 ) > (1-x^2)*1 >0
兩邊開根號後推出
√(1-x^4) > √(1-x^2)
另外 因為 0 < (1-x^2)^2 = 1-2x^2+x^4
1-2x^2 > -x^4 2-2x^2 > 1-x^4 >0
兩邊開根號後得出
√2 * √(1-x^2) > √(1-x^4)
所以
√(1-x^2)＜ √(1-x^4)＜ √2 * √(1-x^2) (0<x<1)
1 1 1
∫√(1-x^2)dx＜∫√(1-x^4)dx ＜∫√2 √(1-x^2)dx
0 0 0
而√(1-x^2) 用三角代換就OK了
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.200.88
推
03/30 23:27, , 1F
03/30 23:27, 1F
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