Re: [考古]93台聯大3.6.7題
※ 引述《girlgigi (gigi)》之銘言：
: http://www.lib.nthu.edu.tw/library/department/ref/exam/93t/paper/930201.pdf
: 買了王博的考古題...
: 可是他的詳解我覺得好難懂...
: 拜託幫忙解一下這三題
: 希望能詳細一點
: 感謝~~~~~
一、填充題
6. Evaluate ∫∫ xy dxdy , where Ω is the region in the first quadrant
Ω
bounded by the curves： x^2 + y^2 = 4 , x^2 + y^2 = 9 , x^2 - y^2 = 1
, x^2 - y^2 = 4 . Answer:______ .
解：Ω = {(x,y)| 4 ≦ x^2 + y^2 ≦ 9 , 1 ≦ x^2 - y^2 ≦ 4 }
令 u = x^2 + y^2 ------(1)
v = x^2 - y^2 ------(2)
u + v √(u+v)
(1) + (2) => (2)(x^2) = u + v => x^2 = ----- => x = ------- (x ≧ 0)
2 √2
u - v √(u-v)
(1) - (2) => (2)(y^2) = u - v => y^2 = ----- => y = ------- (y ≧ 0)
2 √2
J
δ(x,y)
= -------
δ(u,v)
| δx δx |
|----- -----|
| δu δv |
= | |
| δy δy |
|----- -----|
| δu δv |
| 1 1 1 1 |
| (--------)(---------) (--------)(---------) |
| (2)(√2) √(u + v) (2)(√2) √(u + v) |
= | |
| 1 1 -1 1 |
| (--------)(---------) (--------)(---------) |
| (2)(√2) √(u - v) (2)(√2) √(u - v) |
-1 1 1 1 -1 1
= (---)(-------------) - (---)(-------------) = (---)(-------------)
8 √(u^2 - v^2) 8 √(u^2 - v^2) 4 √(u^2 - v^2)
1 1
|J| = (---)(-------------)
4 √(u^2 - v^2)
4 ≦ x^2 + y^2 ≦ 9 => 4 ≦ u ≦ 9
1 ≦ x^2 - y^2 ≦ 4 => 1 ≦ v ≦ 4
D = {(u,v)| 4 ≦ u ≦ 9 , 1 ≦ v ≦ 4}
∫∫ xy dxdy
Ω
√(u + v) √(u - v)
= ∫∫ (---------)(---------) |J| dudv
D √2 √2
4 9 1 1 1
= ∫ ∫ (---)(√(u^2 - v^2))(---)(-------------) dudv
1 4 2 4 √(u^2 - v^2)
4 9 1
= ∫ ∫ --- dudv
1 4 8
4 1 |u = 9
= ∫ (---)(u) | dv
1 8 |u = 4
4 5 5 |4 15
= ∫ --- dv = (---)(v) | = ----
1 8 8 |1 8
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