Re: [微分] 微分的證明題
※ 引述《caxz (虛幻夢影)》之銘言：
: (1)
: f(x),f'(x) and f''(x) are all continous on I
: Suppose x=a is a critical point of f(x)
: show that
: (i)If f''(x)≧0 for all x屬於I
: then x=a is a global minimizer of f(x)
: (ii) If f''(x)>0
: then x=a is a strict local minimizer of f(x)
: (提示 用泰勒展開證明之)
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f"(c)(x-a)^2/2,
其中 c 介於 a 與 x 之間.
故
if f"(x) 恆非負, 則 ...
if f"(a)>0, 則存在 a 的一個鄰域, f"(x) 在此鄰域
內恆正. 故...
: (2)
: Show that any continous function f:[0,1]->[0,1] has at least one fixed point
: (i.e. 存在c屬於(0,1)-> f(c)=c )
Define g(x)=f(x)-x, 則 g 連續, 且 g(0)≧0, g(1)≦0.
若 g(0)=0 或 g(1)=0, 則已得證. 否則, g(1)<0<g(0).
故由 IVT ...
: (3)
: { 1 , x>0 y>0
: f(x,y) = { 0 , o.w.
: show that f_x and f_y both existat(0,0) but it is not differentiable at (0,0)
f_x, f_y 之存在性代定義算出即是.
但 f(x,y) 顯然在 (0,0) 不連續,
甚至 (x,y)→(0,0) 時 f(x,y) 的極限並不存在.
不連續 ==> 不可微.
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