Re: 求圖形漸進線？
※ 引述《acgrun (acgrun)》之銘言：
: x^2+x-1
: 求 f(x) = ----------- 圖形的漸進線？
: x-1
: x^2+x-1
: f(x) = -----------
: x-1
: 1
: => f(x) = x+2+------
: x-1
: 請問這一個步驟是怎麼來的？
就有理式函數而言, 如此例是長除法就解決了.
就一般函數而言, 傾斜漸近線的求法:
(1) 是否
lim f(x)/x = m
x→±∞
存在? 若兩邊皆不存在, 則無傾斜漸近直線.
(2) 若前項之 m 存在, 考慮是否
lim (f(x)-mx) = b
x→±∞
存在? 其中 x→∞ 或 -∞ 要與 (1) 一致.
若 b 存在, 則 y=mx+b 是 f(x) 圖形的一條漸近線.
例*: f(x) = x^2 sin(1/x) + cos(1/x) if x≠0,
則
lim f(x)/x = 1 (=m)
x→±∞
且
lim [f(x)-x] = 1 (=b)
x→±∞
故 y=x+1 是其傾斜漸近線*.
*註: 有些作者定義漸近線 (當 |x| 很大時) 不能與曲線
相交而只能 "逐漸接近". 依此種較嚴格定義, 則本
例 y=x+1 是否為漸近線需進一步檢查才能確定.
令 g(x) = x+1-f(x)
= x^2[1/x - sin(1/x)] + [1-cos(1/x)]
當 x>0 且很大時,
sin(1/x)<x, cos(1/x)<1,
故 g(x) 恆正. 即 f(x)<x+1, x>0, x 很大.
故本例 y=x+1 不論採寬鬆或嚴格定義, 都是
f(x) = x^2 sin(1/x) + cos(1/x)
的傾斜漸近線.
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