Re: [積分] 重積分
※ 引述《kidd0717 (胖)》之銘言：
: 最近進度到重積分..好難好難好難
: 範圍界定真的很困難..
: 例如以下這題 不知道有人可以詳細的說明他的範圍是怎麼界定出來的嗎?
: 2 (2x-x^2)^1/2
: ∫ ∫ (x^2+y^2)^(-1/2) dydx
: 1 2
: 算法應該是令x=rcosΘ,y=rsinΘ
: 可是接下來r和Θ的範圍是多少我就不會算了..
: 先感謝了^^
http://www.pbase.com/colacola111/image/79292894
可以看到y的積分範圍要調一下才不會亂掉
原式變成
2 2
- ∫ ∫ (x^2+y^2)^(-1/2) dydx
1 (2x-x^2)^1/2
要轉極座標的話,必須分成綠色與黃色兩塊區域
首先就綠色的區域討論r跟θ的範圍:
看得出來r先碰到半圓之後碰到x=2
半圓為 y=(2x-x^2)^1/2 => x^2+y^2=2x => r^2=2rcosθ => r=2cosθ
x=2=rcosθ => r=2secθ
看到θ從0跑到紫色的線
紫色的線為 y=x => 此時θ為π/4
所以綠色的區域為:{(r,θ)|2cosθ≦r≦2secθ, 0≦θ≦π/4}
再來就黃色的區域討論r與θ的範圍:
看得出來r先碰到x=1之後碰到y=2
x=1=rcosθ => r=secθ
y=2=rsinθ => r=2cscθ
看到θ從紫色的線跑到藍色的線
紫色的線為θ=π/4
藍色的線為 y=2x => rsinθ=2rcosθ => tanθ=2 => θ=arctan2
所以黃色的區域為:{(r,θ)|secθ≦r≦2cscθ , π/4≦θ≦arctan2}
原式會變成
π/4 2secθ arctan2 2cscθ
- [∫ ∫ (r^-1)rdrdθ+∫ ∫ (r^-1)rdrdθ]
0 2cosθ π/4 secθ
跟ahongyeh的算式是一樣的
當然考試時不需要寫那麼詳細啦 純粹是要讓原PO知道積分範圍從哪來的
最重要的是要把圖畫出來 範圍才不會出錯
不過這題黃色的區域用極座標似乎有點勉強@@||
我也想不出更好的方式就是了 囧 這題真的討厭
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◆ From: 59.117.75.236
※ 編輯: goshfju 來自: 59.117.75.236 (05/24 03:59)
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討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
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完整討論串 (本文為第 8 之 33 篇)：
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