Re: [微分] 求最大最小值和反曲點
※ 引述《j19880706 (smallpig)》之銘言：
: 2/3
: Let F(X)= x(3x-4)
: 求X的 極大值? 極小值? 反曲點?
: 怎麼算阿
: 要為兩次嗎
: 令f(x)=0嗎
: 但是微完 我不會求出X呢
: 因為很複雜
: 請求微積分高手大大 教教我
能有多複雜? 缺少練習吧?
首先, 把符號寫好:
f(x) = x(3x-4)^{2/3}
則
f'(x) = (3x-4)^{2/3} +2x(3x-4)^{-1/3}
= (5x-4)(3x-4)^{-1/3}, x≠4/3
故: 臨界點: x=4/5 及 x=4/3.
再一次微分,
f"(x) = 5(3x-4)^{-1/3} - (5x-4)(3x-4)^{-4/3}
= (10x-16)(3x-4)^{-4/3}
可能有反曲點在 x=16/10 = 8/5.
檢驗:
(1) f"(4/5) = (-8)(-8/5)^{-4/3} < 0
故 f(x) 在 x=4/5 得相對極大值
f(4/5)=(4/5)(-8/5)^{2/3} = 16/5^{5/3}
(2) 在 x=4/3 附近:
f'(x) < 0 當 x<4/3
> 0 當 x>4/3
故 f(x) 在 x=4/3 得相對極小值
f(4/3) = 0
(3) 在 x=8/5 附近
f"(x) < 0 當 x<8/5
> 0 當 x>8/5
故 f(x) 的圖形在 x=8/5 兩邊凹向不同, 即 x=8/5
得反曲點 (8/5,f(8/5)) = (8/5, (8/5)(4/5)^{2/3}).
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