Re: [問題]
※ 引述《hhhtsai (莫忘初衷)》之銘言：
: 底下是小弟之前問的問題,但是有些沒有得到答案...
: 而轉學考試在即...希望版上高手能不吝嗇為小弟解答<(_ _)>
: 1. Let f(x,y) = cos (x^2 + y^2)
: Find quadratic approximation of f near the origin
: Ans: 1 + x + y
: [注]有版友認為此參考解答不合理,我也這麼認為,這只是我手邊的參考解答
: 希望版友若有認為合理的解答或是計算過程,希望可以po出來參考
不然就把 cos x = 1 - x^2/2! + .... x 的地方 用 x^2+y^2取代
f(x,y) = cos (x^2 + y^2) = 1 - (x^2 + y^2)^2/2! + ....
不知這樣可否?
: 2. The power series Σ An(x-2)^n and Σ Bn(x-3)^n both
: converge at x=6 ,find the largest interval which both series converge
: Ans: 0 < x <= 6
: [注]本題有版友認為條件所給不足,原題確實給定的條件僅止於此
我覺得題目有問題，有兩個可能
1. 題目抄錯 不是求largest interval，而是 smallest interval
Σ An(x-2)^n 在 x=6 收歛 => 收歛半徑至少是 4
收歛區間至少包含 (-2,6] = A
Σ Bn(x-3)^n 在 x=6 收歛 => 收歛半徑至少是 3
收歛區間至少包含 (0,6] = B
因此二級數同時收歛的 "最小" 區間 = A 交集 B = (0,6]
2. the largest interval 要看 An, Bn而定吧
下面有兩個例子
假如 An=Bn= (1/n)^n ，收歛區間=無窮大 ,當然在 x=6 也收歛
因此二級數同時收歛的最大區間 = 所有實數
(1/4)^n
若 An = --------- => 收歛區間 = [-2,6]
n^2
(1/3)^n
Bn = ----------- => 收歛區間 = [0,6]
n^2
因此二級數同時收歛的最大區間 = [0,6]
: 3. 1 1
: ∫ ────── dx
: 0 (x-1)^(a-1)
: 收斂時a之值?
: Ans: a < 1
: [注]有版友認為本題答案應該 a < 2 ,但其實很明顯的當a = 1/2 時,本題積分函數
: 無意義,希望若有版友有想出來能給小弟一些建議
: 最後感謝看完這篇文章的版友
: 如果對題目解答有所建議希望能不吝賜教
此題目出得不好..
先不論收歛，能使積分有意意的 a 很有限
0 < x < 1
-1 < x-1 < 0
x-1 恒為負, (x-1)^指數 要有意義 ，指數 不能是無理數，不能是 p/q
p,q為互質整數且q為偶數之有理數如 1/2,3/4 ...
假設上面的條件成立
令 b=a-1
1- 1
I=∫ ────── dx
0 (x-1)^b
t
若 b=1 , I= lim ln|x-1|| = ∞ (發散)
t->1- o
(x-1)^(-b+1) t
若 b>1 , I = lim --------------| = +- ∞ (視b之值而定) (發散)
t->1- -b+1 0
(x-1)^(-b+1) t (-1)^(-b+1)
若 b<1 , I = lim --------------| = - -------- (收斂)
t->1- -b+1 0 -b+1
b<1 => a-1<1 => a<2
故 a<2 時收歛 ，但a要滿足上面所說的條件
如 a=1/2 , 1/4 , π/2 ..... 時積分無意義! (此處不討論虛數)
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※ 編輯: style520 來自: 140.112.250.72 (07/21 19:18)
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