Re: [考古] 請問台大92理工的兩題
※ 引述《MaSheep (MaSheep~~)》之銘言：
: 以下題目請問各位高手.^_^Thanks
: （台大92理工B）
: (1).求∫(1/2+e^x)dx 之值
: (2).求線積分∮Ω (sinx-2y)dx+(3x+e^y)dy 之值,
: 其中之單位圓Ω：x^2+y^2=1為逆時針方向.
: (3).∫(x+4/x^3+x^2-2)dx=_______+C (台大86年)
(1)
1
∫--------- dx
2 + e^x
1 2 + e^x - e^x
= (---)*∫--------------- dx
2 2 + e^x
1 e^x
= (---)*∫(1 - ---------) dx
2 2 + e^x
1
= (---)*(x - ln(2 + e^x)) + c
2
(2)
設單位圓 x^2 + y^2 = 1 所圍之區域為Ω , 由 Green 定理 所以
∮Ω (sinx-2y)dx+(3x+e^y)dy
δ δ
= ∫∫ (-----(3x + e^y) - -----(sinx - 2y) ) dxdy
Ω δx δy
= ∫∫ (3 + 2) dxdy = 5∫∫ dxdy = 5π
Ω Ω
(3)
x + 4 x + 4 A Bx + C
--------------- = ----------------------- = ------- + --------------
x^3 + x^2 - 2 (x - 1)(x^2 + 2x + 2) x - 1 x^2 + 2x + 2
x + 4 = A(x^2 + 2x + 2) + (Bx + C)(x - 1)
= (A + B)x^2 + (2A - B + C)x + (2A - C)
A + B = 0
2A - B + C = 1
2A - C = 4
所以 A = 1 , B = -1 , C = -2
x + 4 1 -x - 2
所以 --------------- = ------- + --------------
x^3 + x^2 - 2 x - 1 x^2 + 2x + 2
x + 4
因此 ∫--------------- dx
x^3 + x^2 - 2
x + 4
= ∫---------------------- dx
(x - 1)(x^2 + 2x + 2)
1 x + 2
= ∫(------- - --------------) dx
x - 1 x^2 + 2x + 2
1
---(2x + 2) + 1
2
= ln|x - 1| - ∫---------------- dx
x^2 + 2x + 2
1 2x + 2 1
= ln|x - 1| - ---∫-------------- dx - ∫--------------- dx
2 x^2 + 2x + 2 (x + 1)^2 + 1
1 -1
= ln|x - 1| - ---ln|x^2 + 2x + 2| - tan (x + 1) + c
2
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◆ From: 61.66.173.21
推
59.114.43.113 07/19, , 1F
59.114.43.113 07/19, 1F
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