Re: [其他] 數學漩渦謎題（plutopuzzles）
※ 引述《tw00088437 (喵貓 loves fish)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: tw00088437 (喵貓 loves fish) 看板: Math
: 標題: [其他] 數學漩渦謎題
: 時間: Fri Aug 28 16:32:00 2009
: http://www.plutopuzzles.com/puzzles/maelstrom/maelstrom.htm
: 嗯我剛爬了文 好像沒人發過@@
: 而且感覺這是純數學 不是邏輯推理類 所以發來這了QQ
: 簡單來講這是crossword puzzle縱橫字謎的數學版
: 有人有興趣一起解+討論嗎@@
: 點進去有18個puzzle
: 可以印出來 或是拍下來用小畫家寫答案(我好陽春 = = 有人有更方便的方法嗎)
那我來貼個比較難(?)的題目的詳解好了 XD
(在批兔上邊解邊打 打完再貼過來的...所以沒什麼批幣賺 XD)
#12 descriptive puzzle
Ａ□Ｂ■ＣＤＥ■Ｆ Ａ是１２的倍數 Ｋ是Ｈ的數字和 Ｓ是Ａ的數字積
■■ＧＨ■Ｉ□□□ Ｂ是質數 Ｌ是平方數 Ｔ是質數
Ｊ■Ｋ□■■□■□ Ｃ是質數 Ｍ是立方數 Ｕ是平方數的３倍
□■■Ｌ□Ｍ□■■ Ｄ是它的數字和的３倍 Ｎ是迴文數 Ｖ是Ｃ的倍數
Ｎ□Ｏ□■Ｐ□□Ｑ Ｅ是立方數 Ｏ是立方數 Ｗ是Ｑ的數字和
■■Ｒ□□□■■□ Ｆ是迴文質數 Ｐ是平方數 Ｘ是平方數
Ｓ■□■■ＴＵ■□ Ｇ是７的倍數 Ｑ是７的倍數 又是三角形數
Ｖ□□Ｗ■Ｘ□■■ Ｈ是迴文數 且反過來讀 Ｙ是其數字的立方和
□■Ｙ□□■Ｚ□□ Ｉ是Ｄ平方的倍數 仍是７的倍數 Ｚ是連續三數的乘積
Ｊ是Ａ的一個因數 Ｒ是Ｚ的倍數
表中直的有ＢＤＥＦＨＪＭＯＱＳＵＷ，橫的則有ＡＣＧＩＫＬＮＰＲＴＶＸＹＺ
以下當然有雷
(說是比較難，其實有些提示根本就告訴你某些數是多少了XD ←例如這個表情中的X和D
不像給關係式的那種題目一開始只會知道幾個首位或末位
比較難一點的是那些只說是平方數/立方數/質數/迴文數的那種提示)
首先是Ｄ，一個兩位數 10a+b = 3(a+b) => 7a = 2b => a:b = 2:7
所以Ｄ只能是２７。
2
而Ｉ以７開頭，且是２７ ＝７２９的倍數，只能是７２９ｘ１０＝７２９０
由此，Ｆ是？０？的形式，又是個迴文質數，故Ｆ＝１０１。
3 3
ＥＭＯ三個數都是五位數的立方數，故它們都只能是２２ 到４６ ：
ｎ | 22 23 24 25 26 27 28 29 30
立方| 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000,
ｎ | 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
立方|29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000,
ｎ | 41 42 43 44 45 46
立方|68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97336
考慮Ｅ，千位數是２，而萬位數是一個三位質數Ｃ的個位數，只能是１３７９，
故只有１２１６７、３２７６８兩數符合條件。
（ＭＯ稍後再看）
次一個目標是Ｘ，是平方數又是三角形數的兩位數只有３６一數
於是再看上表，得知Ｍ只能是１９６８３，５０６５３兩個可能，
但因為Ｐ的首位不能是０，所以Ｍ＝１９６８３，
因此Ｒ的個位數是６，Ｌ的末二位是１６，Ｔ的首位是８。
由Ｔ是質數知Ｔ＝８３或８９，故Ｕ為３６？或９６？，
又知它是平方數的３倍，故除以３得１２？或３２？，
其中有１２１和３２４是平方數，但３２４的３倍為９７２，
故知Ｕ＝１２１ｘ３＝３６３，即Ｔ＝８３，Ｚ的首位是３。
因此我們知道某三個連續數的乘積是三百多，
3
將３００開立方得約６點多，又知７ ＝３４３，
故知Ｚ應為６ｘ７ｘ８＝３３６。
Ｑ是正反讀都是７的倍數，
而我們也知道一個三位數和它的倒反的差會是９９的倍數，
因此這個差就會是７ｘ９９＝６９３的倍數，因此是０或６９３，
也就是說此數的首尾差會是０或７。
Ｐ是個９開頭的四位平方數，因此只能是９５以上的平方，
2
再考慮Ｅ的尾數只能是７或８，故知Ｐ只會是９８０１（９９ ），
且Ｅ是尾數８的答案，即３２７６８。
因此Ｃ是以２３結尾的質數，一共有２２３，５２３，８２３三個。
Ｌ是以１６結尾的四位數平方數，搜尋後知只有２１１６、２９１６、９２１６三解，
考慮到Ｌ的首位是迴文數Ｈ的正中間，若這個中間值是２則無法決定Ｌ為何，
因此可知Ｌ＝９２１６。
回到Ｑ，已知首位是１，且首尾差是０或７，所以Ｑ是１？１或１？８。
這些數中７的倍數有１６１及１６８兩數，但僅有１６８會使Ｑ的數字和Ｗ為兩位數，
因此Ｑ＝１６８，Ｗ＝Ｑ的數字和＝１５。
再來是Ｙ，這種性質的數被稱做 Narcissistic number
(每位數的N次方和等於自己, 其中N為數字位數)
http://en.wikipedia.org/wiki/Narcissistic_number
由此可知Ｙ只能是１５３、３７０、３７１、４０７四個之一，
又知Ｙ的十位是５，故Ｙ＝１５３。
因此Ｏ是個位為１的五位立方數，查上表知只能是２９７９１、６８９２１兩數。
由Ｖ是Ｃ的倍數知？２３的某倍是？？９１或？？２１，
再由個位數可判斷是？７倍。
因？２３ｘ７＝？？６１、？２３ｘ３７＝？？５１皆不合，
故只能是１７或２７倍。
（４７倍的話Ｖ最小是２２３ｘ４７＝１０４８１不合）
因此列出可能性共有：
２２３ｘ１７＝３７９１、２２３ｘ２７＝６０２１、５２３ｘ１７＝８８９１。
看Ｒ，由Ｏ的千位知Ｒ＝９？？６或８？？６且是３３６的倍數，
只有３３６ｘ２６＝８７３６一解。
於是知Ｒ＝８７３６，Ｏ＝６８９２１，Ｖ＝６０２１，Ｃ＝２２３。
由Ｈ是迴文數知道是７？９？７，因此數字和Ｋ是２３＋２ｘ？，尾數也是？，
於是得到？＝７，Ｈ＝７７９７７，Ｋ＝３７，Ｎ＝７６６７。
（其實若不使用使Ｌ有唯一解的理由，因此不知道Ｈ中間是２或９，也可以如此做：
若中間是９則？＝７→Ｈ＝７７９７７，Ｋ＝３７；
若中間是２則？＝４→Ｈ＝７２４２７，Ｋ＝２２。
但因為Ｂ是三位質數，末位不能是２，故只能是Ｋ＝３７的解，
這樣亦可得到中間是９，Ｌ＝９２１６。）
Ｇ是個位是７的兩位７的倍數，只能是７７。
於是由Ｂ是質數得Ｂ＝１７３、３７３、６７３、７７３。
但因為Ａ是１２的倍數，故Ａ是偶數，於是Ｂ只有６７３一解。
最後剩下Ａ、Ｊ、Ｓ的連鎖條件，
為此列出所有個位是６的１２的倍數：
１５６、２１６、２７６、３３６、３９６、
30 12 84 54 162
４５６、５１６、５７６、６３６、６９６、
120 30 210 108 324
７５６、８１６、８７６、９３６、９９６。
210 48 336 162 486
半形數字是對應的Ｓ值，再考慮到Ｓ是三位數且十位為６，
僅有Ａ＝３９６或９３６，Ｓ＝１６２合。
2 2
因數分解３９６＝２ ｘ３ ｘ１１，要得出個位為７的因數是不可能的；
3 2
９３６＝２ ｘ３ ｘ１３，容易湊出唯一的個位為７的三位因數為１１７。
到此已全部解完，最終盤面如下：
９３６■２２３■１
■■７７■７２９０
１■３７■■７■１
１■■９２１６■■
７６６７■９８０１
■■８７３６■■６
１■９■■８３■８
６０２１■３６■■
２■１５３■３３６
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**** 說:
不要期望一個精神力差不多已經見底的人阿Orz
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.30.84
推
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08/30 13:13, 1F
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※ 編輯: LPH66 來自: 140.112.30.84 (08/30 21:33)
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08/30 21:33, 3F
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