Re: [中學] 請問一題數學歸納法

看板Math作者GameKnight (約定好的休息)時間15年前 (2010/12/30 12:23)推噓4(4推 0噓 7→)

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※ 引述《yusd24 (阿鄉)》之銘言： : ※ 引述《eqcolouring (123)》之銘言： : : 證明:n^5+5n^4+5n^3-5n^2-6n必為120的倍數 : : 當n=1時,0=120*0成立 : : 假設當n=k時成立 : : 則n=k+1...這邊我就遇到困難了 : : 真的要把式子全部打開然後再整理嗎? : : 是否有較佳的方法來證明這個敘述?(不用數學歸納法的方法也可) : : 謝謝! : 原式 = (n-1)(n)(n+1)(n+2)(n+3) = A : 五個連續整數一定有 5 的倍數，裡面一定也有 3 的倍數 : 這五個裡面至少有兩個是偶數，一個是 4 的倍數 : 所以 A 是 8 的倍數 : 故 A 是 3, 5, 8 的倍數，又兩兩互質，所以 A 是 3x5x8=120 的倍數若要用數學歸納法應該這樣寫 1. 當n=1時,0=120*0成立 2. 假設當n=k(k任意正整數)時原題成立, 即k^5+5k^4+5k^3-5k^2-6k = 120t (t為任意整數) 可推得n = k+1時 (k+1)^5 + 5(k+1)^4 + 5(k+1)^3 - 5(k+1)^2 - 6(k+1) = (k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1) + 5(k^4+4k^3+6k^2+4k+1) + 5(k^3+3k^2+3k+1) - 5(k^2+2k+1) - 6(k+1) = k^5+5k^4+5k^3-5k^2-6k +[ (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1) +5(4k^3+6k^2+4k+1)+5(3k^2+3k+1)-5(2k+1)-6 ] = 120t + (5k^4+30k^3+55k^2+30k) = 120t + 5k(k^3+6k^2+11k+6) = 120t + 5k(k+1)(k+2)(k+3) <--顯然連續四數相乘為24的倍數 = 120t +120s (s為任意整數) = 120(t+s) 亦為 120的倍數所以由數學歸納法得証對任意正整數 n, k^5+5k^4+5k^3-5k^2-6k必為120的倍數 # -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.64.161.123 ※ 編輯: GameKnight 來自: 203.64.161.123 (12/30 12:25)

推

ejialan

12/30 13:12, , 1^F

12/30 13:12, 1^F

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ejialan

12/30 13:12, , 2^F

12/30 13:12, 2^F

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GameKnight

12/30 13:31, , 3^F

12/30 13:31, 3^F