Re: [請益] 台大科法所
※ 引述《tdk4 (大飛)》之銘言：
: 沒學過邏輯，只是一個路過對數學有興趣的電機人...囧>
: ※ 引述《windmusic (喔耶)》之銘言：
: : 95分析能力一
: : 關於邏輯方面的問題
: : 有些關係是可以傳遞的，以"大於"為例，若甲大於乙，而且乙大於丙，則甲大於丙；有些
: : 關係則是反傳遞的，以"垂直"為例，若甲直線垂直於乙直線，而且乙直線垂直於丙直線，
: : 則甲直線不會垂直於丙直線。有些關係是對稱的，以"垂直"為例，若甲直線垂直於乙直線
: : ，則乙直線垂直於甲直線；有些關係是反對稱的，以"大於"為例，若甲大於乙，則乙不會
: : 大於甲。有些關係是自反的，以"等於"為例，任何數都與自己相等；有些關係是反自反的
: : ，以"垂直"為例，任何直線不會與自己垂直。
: 前言：
: (1)以*表示邏輯上的運算，A*B的output是一個布林值
: (2)題目我把它翻譯如下：
: 傳遞： 若 A*B=true 且 B*C=true 則 A*C=true
: 反傳遞： 若 A*B=true 且 B*C=true 則 A*C=false
: 對稱： 若 A*B=true 則 B*A=true
: 反對稱： 若 A*B=true 則 B*A=false
: 自反： A*A=true for any A
: 反自反： A*A=false for any A
: (3)若選了「對稱」則必也要選「不反對稱」；
: 若選了「反對稱」則必也要選「不對稱」；
: 若選了「自反」則必也要選「不反自反」；
: 若選了「反自反」則必也要選「不自反」。
: : 現在假設某一關係是傳遞且反自反的，請問此關係有無下面情況:
: : (a)對稱 (b)反對稱 (c)不對稱 (d)不反對稱
: A*A恆為false (因為*反自反)
: 接下來分兩種情況討論
: (i)存在A、B使得 A*B=true (AB不必相異)
: 假設 B*A=true
: 那麼 A*A=true (因為*可傳遞) 矛盾
: 所以 A*B=true implies B*A=false
: 故*反對稱
: (ii)不存在A、B使得A*B=true (AB不必相異)(本情形不會違反題目條件)
: 那麼*是對稱且反對稱 (因為*滿足這兩者的定義)
: (i)(ii)聯集可知本題答案是abcd
這是題目解讀歧異的問題了.[是否有下列情形]是要我們選出[必然會成立的選項]還是
[所有有可能成立的選項]?
我覺得是要選出"必然成立"的選項.
根據:我讀數學書的經驗和考試的經驗
如果把題目中的[有無下面情況]解釋成[選出必然成立的選項]的話,答案只要選b就
行了.
: : 又一個傳遞且自反的關係有無下面情況:
: : (a)對稱 (b)反對稱 (c)不對稱 (d)不反對稱
: 答案先說是acd，理由如下：
: Proposition：不存在一種關係＠會同時反對稱和自反
: 證明：假設＠同時反對稱和自反。
: 因為＠自反，所以 A＠A=true
: 又因為 A＠A=true 所以 A＠A=false (反對稱，把A和A交換位置)
: 顯然矛盾。故得證
: 所以可以把b選項刪除
: 接下來舉例證明acd都是有可能的
: 平行關係，傳遞且自反且對稱，所以ad要選
: 大於等於(或小於等於)關係，傳遞且自反且不對稱，所以c要選
如果把題目中的[有無下面情況]解釋成[選出必然成立的選項]的話,答案只要選d就
行了.這樣比較簡潔吧?
: : 一個傳遞且對稱的關係有無下面情況:
: : (a)自反 (b)反自反 (c)不自反 (d)不反自反
: 同樣一開始就分兩種情形
: (i)存在A、B使得 A*B=true (AB不必相異)
: 因為*對稱，所以 B*A=true
: 因為 A*B=true 且 B*A=true，所以A*A=true (傳遞)
: 故*自反
自反的定義是A*A=true for any A,故(i)的第一句應該改寫成[對於任意A,皆可找
到B(AB不必相異)使得A*B=true],方能導出[*為自反]的結論.
: (ii)不存在A、B使得 A*B=true (AB不必相異)(本情形不會違反題目條件)
: 那麼根據定義*就是反自反
如果(i)如我所說改寫,那(ii)也應該改寫為[並非對於所有A皆能找到B(AB不必相異
)使得A*B=true].則(ii)可以導出[*為不自反](且有可能是反自反,如果所有的A皆
無法找到B使得A*B=true的話).
: 綜合(i)(ii)答案應選abcd
結果是*有可能自反(if所有A皆找得到B),也可能反自反(if所有A皆找不到B),也有可
能既不自反又不反自反(有的A找得到B,有的找不到)
(注意:A和B都不必相異)
重點就在於:A找得到B(可為A)使得A*B=true <---> A*A=true
鍵號左右為充要關係.
: : 以上問題想請教版上大大
: PS. 我猜想出題者應該沒有想到不存在A、B使得 A*B=true 的情況
: PPS. 有人能把全篇看完我佩服你...我自己打完以後都看不懂了
有錯誤請指正,謝謝!
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