Re: [請益] 台大科法所
※ 引述《windmusic (喔耶)》之銘言：
: 95分析能力一
: 關於邏輯方面的問題
: 有些關係是可以傳遞的，以"大於"為例，若甲大於乙，而且乙大於丙，則甲大於丙；有些
: 關係則是反傳遞的，以"垂直"為例，若甲直線垂直於乙直線，而且乙直線垂直於丙直線，
: 則甲直線不會垂直於丙直線。有些關係是對稱的，以"垂直"為例，若甲直線垂直於乙直線
: ，則乙直線垂直於甲直線；有些關係是反對稱的，以"大於"為例，若甲大於乙，則乙不會
: 大於甲。有些關係是自反的，以"等於"為例，任何數都與自己相等；有些關係是反自反的
: ，以"垂直"為例，任何直線不會與自己垂直。
: 現在假設某一關係是傳遞且反自反的，請問此關係有無下面情況:
: (a)對稱 (b)反對稱 (c)不對稱 (d)不反對稱
: 又一個傳遞且自反的關係有無下面情況:
: (a)對稱 (b)反對稱 (c)不對稱 (d)不反對稱
: 一個傳遞且對稱的關係有無下面情況:
: (a)自反 (b)反自反 (c)不自反 (d)不反自反
: 以上問題想請教版上大大
對於某個論域上的關係R而言，
R是傳遞的若且唯若(X)(Y)(Z)((Rxy‧Ryz)→Rxz)
R是反傳遞的若且唯若(X)(Y)(Z)((Rxy‧Ryz)→~Rxz)
R是對稱的若且唯若(X)(Y)(Rxy→Ryx)
R是反對稱的若且唯若(X)(Y)(Rxy→~Ryx)
R是自反的若且唯若(X)Rxx
R是反自反的若且唯若(X)~Rxx
當給定R是傳遞且反自反時，R不能是對稱的，因為當我們假定R是對稱時，
(X)(Y)(Rxy→Ryx)，而R又是傳遞的，因而我們的到R是自反的，與前提相悖；R是反對稱
的，因為假設論域當中有某兩樣東西具有以下性質：Rab, Rba，而R又是傳遞的，所以
<a,a>與<b,b>屬於R，但R是反自反的，所以論域中不可能有任意兩樣東西X,Y <X,Y>與
<Y,X>同時屬於R，所以R是反對稱的。基於上述理由，R是非對稱的。
當給定R是傳遞且自反時，以下情況是被允許的：有某兩樣東西X,Y <X,Y>屬於R，但<Y,X>
不屬於R；有某兩樣東西W,Z <W,Z>與<Z,W>同時屬於R。所以R既非對稱，亦非反對稱。
當給定R是傳遞且對趁時，R是自反的：給定任意論域中兩物a,b 因為R是對稱的，所以
<a,b>及<b,a>皆屬於R。又R是傳遞的，所以<a,a>與<b,b>亦皆屬於R。換言之，論域中的
所有東西與其自身都有R的關係，所以R是自反的，因而是非反自反的。
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