Re: [問題] 徵求數學高手~~

看板ck55th325作者LimSinE (r=e^theta)時間20年前 (2003/10/18 22:55)推噓10(10推 0噓 0→)

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作出來了。我先直接用交換求和(這個可換的驗證很枯燥，從略)的方法好了。以下Sigma(k)是從1至無限大、Sigma(i)是從0至n-1 C(a,b)是組合數：C a取b 期望值E = Sigma(k) {k*n*Sigma(i)[(n-1-i)^(k-1)*(-1)^i*C(n-1,i)]/n^k} NOTE: 其中k是恰取k次的意思，而後面是它的機率。分母n^k就是所有的取法。而分子的n是最後一個球的號碼選擇，它一定只能被取一次。整個Sigma(i)就是其餘k-1個球中分別是那n-1種球(而且每種都有)的排列數。是用排容原理，i是指至少沒有i種球的情形。所以 E=Sigma(k){k*Sigma(i)[((n-1-i)/n)^(k-1)*(-1)^i*C(n-1,i)]} =Sigma(i){C(n-1,i)*(-1)^i Sigma(k)[k*((n-1-i /n)^(k-1)]} =Sigma(i){C(n-1,i)*(-1)^i [n^2/(1+i)^2]} NOTE: 這一步是把後面的Sigma(k)算出來，注意到它是差比混合數列。此外，n/1+i *C(n-1,i)=C(n,i+1)這點可直接驗證，所以 E=n* Sigma(i){C(n,i+1)/i+1 *(-1)^(i+2)} =n* Simga(j=1 to n){C(n,j)/j *(-1)^(j-1)} =n(1+1/2+1/3+...+1/n) NOTE：最後一個等號是常見的恆等式，可是一定很多人沒看過。雖然理論上翻書就有，但是如果我夠無聊的話就把那個證明打上來。我在想會有多少人細看這篇文章。 -- r=e^theta 即使有改變，我始終如一。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.70.211.116

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vogoho

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vogoho

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LimSinE

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