Re: [其他] 台大102學年度轉學考 微積分B參考答案
: : 16. (a) 0
: : (b) 2π
: (a) 根據Green's Theorem:
: x^2 + y^2 - 2x^2 -x^2 - y^2 + 2y^2
: 原式 = ∫∫ [------------------ - -------------------]dxdy = 0
: R (x^2 + y^2)^2 (x^2 + y^2)^2
: R is the region enclosed by C
: (b)
: 有兩種解法:
: -sin(θ) cos(θ)
: 原式 + lim ∫ [----------*ε*-sin(θ)dθ + ---------*ε*cos(θ)]dθ = 0
: ε->0 C' ε ε
: C': x = εcos(θ), y = εsin(θ)
: 且C'是clockwise
: 所以說:
: 原式 + ∫ dθ = 原式 - 2π = 0
: C'
: 原式 = 2π
: 另解:
: -sin(θ) cos(θ)
: 原式 = ∫ [----------*a*-sin(θ)dθ + ---------*a*cos(θ)]dθ = ∫ dθ = 2π
: C a a C
(b) 還有第三種解法，當被積函數超複雜時用 (這題還沒有必要這樣用)
在 C上 x^2 + y^2 = a^2
-y x
∫ ----- dx + ----- dy
C a^2 a^2
= (1/a^2) ( ∫ -y dx + x dy )
C
By Green Thm
= (1/a^2) ∫∫ (1+1) dxdy
C所圍區域
= (1/a^2) 2 πa^2
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