[情報] 台大99年微積分C 解答

看板Transfer作者lovekwen (我的名字叫孤獨)時間15年前 (2010/07/14 23:56)推噓16(16推 0噓 7→)

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考卷網址: http://exam.lib.ntu.edu.tw/sites/default/files/exam/undergra/99/99026.pdf 1. i) 1/2 (x^2 e^x^2 - e^x^2 ) + C ii) π/4 2. i) f(x) = x^2 [ 1/√(1+x^2) - 1 ] (二項式展開) = x^2 [ -1/2 x^2 + 3/8 x^4 - 5/16 x^6 + … ] = -1/2 x^4 +3/8 x^6 - 5/16 x^8 + … 故x^4之係數: -1/2 x^9之係數: 0 ii) g(x) = ( 1 - 1/2! x^2 +1/4! x^4 - … )( x^2 - 1/3! x^6 + … ) - x^2 = -1/2 x^4 - 1/8 x^6 + 1/12 x^8 - … 故x^4之係數: -1/2 x^6之係數: -1/8 iii) f(x) 由上述知 lim ── = 1 x→0 g(x) 3. i) 2π 1 C = A + B = ∫∫ sin(x^2+y^2) dxdy = ∫ ∫ sin(r^2) rdrdΘ Ω 0 0 = π (1 - cos 1) ii) 1 √(1-x^2) A = ∫ ∫ sin(x^2)cos(y^2) dydx -1 -√(1-x^2) 1 √(1-x^2) = 4 ∫ ∫ sin(x^2)cos(y^2) dydx (偶函數性質) 0 0 1 √(1-y^2) B = ∫ ∫ sin(y^2)cos(x^2) dxdy -1 -√(1-y^2) 1 √(1-y^2) = 4 ∫ ∫ sin(y^2)cos(x^2) dxdy (偶函數性質) 0 0 由啞變數變換知: A = B 4. i) f = 2x + 4y = 0 得 x = -2y x f = 4x + 2y = 0 得 y = -2x y 解得(x,y) = (0,0) 且 Δ(0,0) < 0 故(0,0)為開區間內之鞍點 ii)令L(x,y,λ)= x^2 + 4xy + y^2 + λ(x^2 +y^2 - 1) L = 2x + 4y + λ(2x) = 2(1+λ)x + 4y = 0 x L = 4x + 2y + λ(2y) = 4x + 2(1+λ)y = 0 y 欲得x,y之非零解則: 　　　｜1+λ 2｜　　　｜｜ = 0 得 λ = 1 or -3 　　　｜2 1+λ｜ (1) λ = 1 得 x = -y → 2x^2 = 1 , x = ±1/√2 = -y 此時 f = -1 (2) λ = -3 得 x = y → 2x^2 = 1 , x = ±1/√2 = y 此時 f = 3 故絕對極小值: f = -1 , 絕對極大值: f = 3 min Max iii)綜合上述知在閉區間內之絕對極小值: f = -1 , 絕對極大值: f = 3 min Max -- 我送妳離開　千里之外　妳又跑回來 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 125.230.212.139

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