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#NTÜHater4_73039
定理、
V 是佈於 F 的向量空間，dim(V)=n<∞
T:V→V 是一個線性變換，一個特徵值為 λ 的特徵向量 v∈V 是滿足 Tv=λv 的向量，也就是說 v 滿足 (T-λI)v=0。
T-λI 不可逆等價於 det(T-λΙ)=0，所以 T 的特徵多項式定義為 det(T-xI)，要找到特徵值就只要找特徵多項式的根即可。如果 λ 是一個根，那 Ker(T-λI) 裡的非零向量就是特徵向量了，Ker(T-λI) 是 λ 對應的特徵空間。
特徵空間裡的向量，經過變換就只是伸縮而已，還在特徵空間裡。我們推廣這個概念，一個子空間經過變換還在自己裡面，就叫不變子空間。如果 W 是 T:V→V 的一個不變子空間，把 T 限制在 W 上則有 T|W : W→W。
回顧行列式的定義，由於 V 是一維的空間 T: V→ V 是乘上一個倍數而已，選一組基底 {v ,…,v }，則我們有 det(T)v … v =Tv … Tv ，顯然這不依賴基底的選取。如果 W 是一個 T-不變子空間，選一個 W 的基底 {w ,…,w } 擴充成 V 的基底 {w ,…,w ,v ,…,v }，則
T(w … w v … v )
=Tw … Tw Tv … Tv
=det(T|W)w … w Tv … Tv
=det(T)w … w v … v
這代表 det(T|W) 可以整除 det(T)，而如果 V 是幾個 T-不變子空間的直和，則 det(T) 是 T 限制在這幾個子空間上的行列式的乘積。T-不變子空間也是 (T-λI)-不變子空間，所以限制在不變子空間上的特徵多項式，是整個空間的特徵多項式的因式。
給一個向量 v∈V，包含 v 最小的 T-不變子空間可以由 v 生成，當 {v, Tv, …, T v} 是線性獨立集，而 T v= a T v，則 {v, Tv, …, T v} 就是包含 v 最小的 T-不變子空間的一組基底。
det(T-xI)v Tv … T v
=(T-xI)T v (T-xI)Tv … (T-xI)T v
= (-x)T v … (-x)T v T v … T v
=(-1) (x - a x )v Tv … T v
既然 F[T] 是一個交換環， (T - a T )T v=T (T - a T )v=0，在 v 生成的 T-不變子空間上 T - a T ≡O，也就是說：
（ - ）
T 帶進去特徵多項式是零算子。
我們用 χ(t) 表示 t - a t ，則 χ(T)=0。多項式可以分解成不可約的多項式相乘，所以 χ=q …q ，每個 q 是某個不可約多項式 p 的次方，而 i≠j 則 p ≠p 。多項式能作輾轉相除法，保證互質（沒有非常數的公因式）的多項式能線性組合出 1。所以對於互質的多項式 f, g，存在多項式 h , h 使 h f+h g=1。如果 v∈Ker(f(T))，則
v
=[h (T)f(T)+h (T)g(T)]v
=h (T)f(T)v+h (T)g(T)v
=h (T)f(T)v
綜合上述我們知道幾件事：
1. Ker(g(T)) 是 f(T) 的不變子空間
2. F(T) 限制在 Ker(g(T)) 是可逆的
3. Ker(f(T))∩Ker(g(T))={0}
如果 f(T)g(T)v=0，那 g(T)v∈Ker(f(T))，根據前兩點，存在唯一 w∈Ker(f(T)) 使得 f(T)w=f(T)v，我們得到 v-w∈Ker(f(T))。所以 Ker(f(T)g(T)) 可以分解成兩個空間的和 Ker(f(T))+Ker(g(T))，再根據第三點，這個和其實是直和。
既然 V 會被 χ(T) 消滅，即 V=Ker(χ(T))，我們可以把 V 做直和分解 Ker(q (T))⊕…⊕Ker(q (T))，每個都是 T 的不變子空間。
當 F 是代數封閉的體，det(T-xI) 能唯一分解成一次式的乘積。經過整理合併後，如果有一項是 (x-λ) ，則我們定義 λ 對應的廣義空間為 Ker((T-λI) )=
{ v∈V | (T-λI) v=0 }
為方便起見，以下用 S 代替 T-λI，即 Tv-λv=Sv 或 Sv+λv=Tv，根據不變子空間的定義和向量空間的加法封閉性，T 和 S 享有相同的不變子空間。S v=0 且 S v≠0 時，S v 屬於 Ker(S ) 但不屬於Ker(S )，這代表 S v 不能寫成 S 次數比 i 更小的那些 S v 的線性組合，所以 {S v, …, Sv, v} 是一個線性獨立集。
考慮這個線性獨立集生成的 T-不變子空間，相對於這組基底，T=S+λI 限制在上面的矩陣表示是
λ 1 0 … 0 0
0 λ 1 … 0 0
0 0 λ … 0 0
0 0 0 … λ 1
0 0 0 … 0 λ
這樣的矩陣叫 λ-Jordan block，對應的特徵多項式是 (λ-x) ，既然這是 (λ-x) 的因式，k r，我們可以從 Ker(T )\Ker(T ) 開始選向量構造不變子空間。
在商空間 Ker(S )/Ker(S ) 選一組基底，代表元如果是 {v ,…,v }，那 {Sv ,…,Sv } 給出的等價類在 Ker(S )/Ker(S ) 是線性獨立的，因為 S ( a Sv )=0 代表 a v ∈Ker(S )。換言之，在商空間的線性獨立會一直傳遞下去，如此一來，我們能選多個向量來生成不變子空間，而這些不變子空間兩兩交集都是 {0}。
λ 對應的廣義特徵空間，可以寫成這些不變子空間的直和。商空間 Ker(S )/Ker(S ) 一組基底的代表元 {v ,…,v } 給出 m 個不變子空間，而 {Sv ,…,Sv } 雖然是 Ker(S )/Ker(S ) 一組線性獨立集的代表元，但不一定是基底的，所以我們把它擴充成 {Sv ,…,Sv , v , …, v }，是為 Ker(S )/Ker(S ) 一組基底的代表元。
從 k=r 開始，我們反覆這個步驟直到 k=1，把代表元的集合取聯集，得到 λ 對應的廣義特徵空間的一組基底
{…, S v , Sv , v , …, S v , Sv , v , … }
相對於這組基底，T 限制在 λ 對應的廣義特徵空間上，是對角線為 λ-Jordan block 的矩陣。
關於特徵值 λ 有幾個數字，上述的 r 是代數重數，因為它是 λ 作為特徵多項式的重根次數，剛好這也是廣義特徵空間的維度。而特徵空間 Ker(T-λI) 的維度，是幾何重數。當幾何重數等於代數重數，即特徵空間等於廣義特徵空間，T 限制在上面是 λI。
Jordan basis 就是 V 的一組基底，能讓 T 相對於它的矩陣表示，是對角線上為 Jordan block 的矩陣。當所有特徵值的幾何重數等於代數重數，T 就是可對角化的。
投稿日期： 2024年1月28日 03:13 CST
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