Re: [問題] 型一和型二誤差間的數學式
※ 引述《saltlake (SaltLake)》之銘言：
: 型一和型二誤差之間可以用數學式明確描述其關係嗎?
: 倘以火災警報器來看，其基本結構乃一個煙霧偵測器連結一個
: 判別器與警鈴。一旦偵測器吸入外界煙霧濃度經判別器判斷高於
: 設定的閾值，就啟動警鈴報警。
: 型一誤差的定義是沒有火災卻響鈴報警，即警報器閾值太低。
: 反之，型二誤差的定義是有火災卻不響警鈴報警，即警報器閾值
: 太高。換言之，調整閾值數值可以影響這兩型誤差。由這兩型誤
: 差與閾值關係看，兩型誤差有彼此節抗關係--提高任一者數值的
: 同時會降低另者數值。
: 既然兩型誤差間有關係，請問如何推導出其數學表達式?
型一錯誤和型二錯誤本質上是根據隨機變數在不同的假設下
超過或不超過critical value的條件機率
所以要寫出數學式需要先有知道不同假設下的機率以及隨機變數的機率分配
背後還有一個最重要的假設
型一錯誤可以透過critical value控制
(我也不知道該說這是定義還是假設，但型一錯誤本來就是拿來控制的)
以這個情境來說
火災(Ha)跟沒火災(H0)就是相對應的兩個假設
觀測到給警報器偵測的T是隨機變數，而設定好的閾值是t (即critical value)
假設T超過t會響警報，t愈大型一錯誤機率愈小
這邊就假設火災發生的機率是p，沒火災的機率是1-p好了
另外因為也知道T的機率分配，就假設P(響)=P(T>t)=w，反之P(沒響)就是1-w
令型一錯誤機率=a 型二錯誤=b
因此
型一錯誤=H0假設下拒絕H0=P(響|沒火災)
=P(響 且 沒火災)/P(沒火災)=P(響 且 沒火災)/P(沒火災)
=>型一錯誤*P(沒火災)=P(沒火災 且 響)=P(沒火災)-P(沒火災 且 沒響)
=>P(沒火災 且 沒響)=P(沒火災)*(1-型一錯誤)=(1-p)*(1-型一錯誤)=(1-p)(1-a)
型二錯誤=H0假設錯誤(即Ha假設)下接受H0=P(沒響|火災)
=P(沒響 且 火災)/P(火災)=[P(火災|沒響)*P(沒響)]/P(火災)
=P(沒響)(1-P(沒火災|沒響))/P(火災)
=[P(沒響)-P(沒火災 且 沒響)]/P(火災)
=[(1-w)-(1-p)(1-a)]/p
=[p-w+a(1-p)]/p
=>b*p=p-w+a(1-p)
=>w=p+a(1-p)-bp=a(1-p)+p(1-b)
(響的機率=沒火災卻響+火災有響)
=>p=(w-a)/(1-b-a)=定值
閾值增加=>w下降x=>a(型一錯誤)下降=>(1-b)也要下降x=>b增加
閾值降低=>w上升x=>a(型一錯誤)上升=>(1-b)也要上升x=>b減少
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