Re: [問題] 數統-關於擲硬幣問題
※ 引述《celestialgod (天)》之銘言：
: ※ 引述《getsimple (getsimple)》之銘言：
: : 大家好
: : 我有一題想了很久真的不太知道怎麼做，又找不到人討論，求求各位大神救救我....
: : 我本來看到這題想說y會服從ber(p=1/2)，然後x會服從二項，但突然又看到2^（-k)，如
: : 果直接加入的話好像就不能用二項去算了（？）因為這樣的話機率總和不等於1...
: : 拜託大家指點～
: : 感謝大家，感謝統計版
: : https://i.imgur.com/WlcVTxe.jpg
: 1. 先觀察看看
: n=1, X_n的值域是0 or 1/2, 機率都是1/2
: n=2, X_n的值域是0, 1/4, 1/2, 3/4, 機率都是1/4
: n=3, X_n的值域是0, 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8, 機率都是1/8
: 2. 從觀察來看，我們可以假設P(X_n = x) = 2^(-n)成立
P(X_n=x)=2^(-n) 且 x=0,1/2^n,2/2^n, ..., (2^n-1)/2^n
: P(X_(n+1) = x) = P(X_n = x) * P(Y_(n+1) = 0) +
: P(X_n = x - 2^(-n-1)) * P(Y_(n+1) = 1)
這邊有點快...我想分解一下
P(X_(n+1)=x)=P(X_n+2^(-n-1)Y_(n+1)=x)
因為Y_(n+1)的值域只有 0,1
所以才有X_n=x-2^(-n-1)的情況出現
P(X_(n+1)=x)=P(X_n=x,Y=0)+P(X_n=x-2^(-n-1),Y=1)
=P(X_n=x)P(Y=0)+P(X_n=x-2^(-n-1))P(Y=1)
回去上方定義域探討 前項的x和後項 x-2^(-n-1) 是否屬於 X_n的定義域
首先假設x一定屬於X_n+1的定義域(要不然出來的機率為零)
Case 1 x屬於 X_n+1的定義域 且 x屬於X_n的定義域
因為x屬於X_n的定義域
x-2^(-n-1)一定不屬於 X_n的定義域(因為X_n定義域的分母只有2^n)
所以P(X_n=x)=1/2^n
P(X_n=x-2^-(n+1))=0
因此P(X_(n+1)=x)=1/2^n*P(Y=0)+0*P(Y=1)
=1/2^(n+1)
Case 2 x屬於X_n+1的定義域 但是不屬於 X_n的定義域
x=1/2^(n+1),3/2^(n+1),...,(2^n+1-3)/2^(n+1), (2^(n+1)-1)/2^(n+1)
(也就是分母為 2^(n+1) 且分子為奇數的部分)
因為在這個狀況 x不屬於 X_n的定義域
所以P(X_n=x)=0
但 x-2^(-n-1)時，因為分子從奇數變成偶數
這時分子分母可以同消，分母變成2^n
所以x-2^(-n-1)是屬於 X_n的定義域裡面
P(X_(n+1)=x)=0*P(Y=0)+1/2^n*P(Y=1)
=1/2^(n+1)
綜合以上兩個case
P(X_(n+1)=x)=1/2^(n+1) , x=1/2^(n+1),2/2^(n+1),..., (2^(n+1)-1)/2^(n+1)
根據數學歸納法得證
: 到這就有點卡住了，先探討值域
: 因為X_n = sum_k 2^(-k) *Y_k, k = 1, ..., n
: => X_n的可能範圍是從 {0, 1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2^n} 取0~n個做和
: => 所以X_n的個數為 nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn = (1+1)^n = 2^n
: (帕斯卡三角形第n+1列)
: 從值域來看X_n並不可能包含 2^(-n-1)
: 因此，P(X_n = x - 2^(-n-1)) = 0，所以P(X_(n+1) = x) = 2^(-n-1)
: 所以根據數學歸納法，P(X_n = x) = 1/2^(-n) 是成立
: 3. 驗證
: x的值域為2^n個，每一個機率為1/2^n => sum_i P(X_n = x_i) = 1 => 是pmf沒錯
: 我不確定有沒有比較好的做法，這是我想到的作法....
: cdf我就沒想到要怎麼做了Orz
: 所以第二題我就沒辦法了Orz
第二題我也搞不懂...
因為第一題成立的話
n->無限大時，他的pmf也會趨近於0
F_Xn(x)=sum_(Xn<=x) (1/2^n)
同樣的當n趨近於無限時也會趨近於0
不過有趣的是我發現裡面她是計算裡面小於等於x的離散點數
(累積的數量)
既然用理論證明不行，那我們再次用觀察的方式看看
F_Xn(x)=sum_(Xn<x)*1/2^n
F_X(X_n)=X_n+1/2^n
我覺得這邊有個挺弔詭的，一般CDF函數裡面我們都是放一個固定x
但他這邊卻是用數列Xn放入
我想這就是題目一開始說的u_i是固定數列
因此X_n應該也是一個固定式數字才對
那我們看Xn應該長怎樣
X_n 可能的值有 0, 1/2^n, 2/2^n,..., (2^n-1)/2^n 共有 2^n個點
對應的累積點 1, 2, 3 ,..., 2^n
可以觀察到 如果 x=(a-1)/2^n時， 他的累積數會剛好是a
if x=(a-1)/2^n
cdf F_Xn(x=(a-1)/2^n)=a*1/2^n
=(a-1)/2^n+1/2^n
=x+1/2^n
我覺得有更好的寫法...畢竟我這個結果比較像是用觀察得到的
還期望各位高手提供更加有系統的寫法
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