[問題] 如何證明Gamma分配的完備性

看板Statistics作者 (　)時間10年前 (2014/02/21 01:52), 編輯推噓4(4推 0噓 10→)
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節錄自96交大統研考古題 f(x;θ)=θexp{-θx} ,x>=0 X1,X2 iid於此分配 S=X1+X2 證明S是完備的 節錄某詳解的解題步驟： S是Gamma分配(α=2, λ=θ) E_θ(g(S))=0, for all θ>0 → ∞ ∫g(s)sexp{-θs} ds=0, for all θ>0 0 令g(s)=g_+(s) - g_-(s), 其中g_+(s)和g_-(s)非負。 ↑為何可以這樣假設g(s)可拆成兩個函數相減？ 對於任意g(s)都能這樣做嗎？ 以下是我的解法: 假設前一步驟合理，接下來 ∞ ∞ ∫g_+(s)sexp{-θs} ds = ∫g_-(s)sexp{-θs} ds 0 0 因為g_+(s)s的Laplace transform等於g_-(s)s的，又s>0， 所以這樣就能宣稱g_+(s)=g_-(s)了？ (並可推得E(g(S))=E(0)=0) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.255.238.16 ※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.238.16 (02/21 02:02)
推
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用指數族(exponential family)解決較簡單
02/21 09:48, 1F
推
02/21 10:06, , 2F
也可以期望值對θ微分，因假設E_θ(g(S))=0，對0微分還是0
02/21 10:06, 2F
推
02/21 10:11, , 3F
微分後得到積分g(s)*(s^2)*exp(-θs) ds=0
02/21 10:11, 3F
推
02/21 10:13, , 4F
因為s^2>0，exp(-θs)>0，所以這個積分如果要等於0
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02/21 10:15, , 5F
唯一的機會就是g(s)=0，for all s>0，因此得證
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02/21 17:25, , 6F
任何函數都可以表示為其 "正部" 與 "負部" 的差. 而就機率、
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02/21 17:26, , 7F
統計上的應用來說, 該函數 g 是 Borel function. 那麼, 拆解
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02/21 17:26, , 8F
出來的 g+, g- 也是 Borel function.
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02/21 17:27, , 9F
Laplace transform 的唯一決定性與 m.g.f. 的唯一決定性, 乃
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02/21 17:28, , 10F
至 ch.f., Fourier transform 的唯一決定性等, 可說都是同樣
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02/21 17:28, , 11F
的東西.
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02/21 17:30, , 12F
用 "指數族" 為解題依據, 其實與用 Laplace transform 解題,
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02/21 17:31, , 13F
本質上也是差不多的, 都是利用現成的定理, 而這些當做根據的
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02/21 17:32, , 14F
定理, 其證明, 如果我沒記錯, 是涉及複變函數的一個定理.
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謝謝!! ※ 編輯: anovachen 來自: 42.74.190.206 (02/21 23:17)
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