Re: [問題] Beta 分佈 取極限
※ 引述《physmd (smd)》之銘言：
: 我在 wiki 的 Beta 分佈 頁面裡讀到說 當那兩個參數都趨近於零，
: Beta 分佈 會成為 Bernouli trial (二選一、成功機率 p 等等).
: (在第一段: characterization 快結束的地方)
: 我現在一下子卡住，不知道怎麼嚴格的數學上取這個極限，請版友指點一下啦~
: 謝謝
: 當兩個參數趨近零（但兩個不需「相等」）， Beta 分佈 的機率密度只有在 0 與 1 的位置
: 趨近無限大。同時，歸一係數 Beta function 在零點也是爆掉，所以可以馬馬虎虎看成 Beta
: 分佈除了 0 與 1 的位置之外機率密度趨近零，變成兩支 delta function.
: 不過我還是滿希望搞清楚嚴格推導的說...
根據維基百科：
mgf of Beta(a,b)
1 + \sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1}
\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
∞ k-1
1 + Σ [Π (a+r)/(a+b+r)] (t^k)/(k!)
k=1 r=0
對a,b取趨近於0的極限，
會變成exp(t)，根據continuity theorem，
表示此一Beta(a,b)的mgf數列收斂到exp(t)，
也相當於Bernoulli(p=1)。
(證明不嚴謹，希望有高手指點>"< )
(mgf也能用這定理嗎?還有這是雙參數的情形...也適用嗎？)
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◆ From: 111.255.19.106
※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.19.106 (12/12 15:09)
推
12/12 22:37, , 1F
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